Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15233 / 10335
↖ ↑ ↗
← N 55.185141°
W 12.645264°		 ← 697.47 m → N 55.185141°
W 12.634277°		 →
↑
697.50 m
↓
↑
697.50 m
↓
N 55.178868°
W 12.645264°		 ← 697.58 m →
486 519 m²		 N 55.178868°
W 12.634277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464889526367188 y=0.315414428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464889526367188 × 215)
    floor (0.464889526367188 × 32768)
    floor (15233.5)     		tx = 15233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315414428710938 × 215)
    floor (0.315414428710938 × 32768)
    floor (10335.5)     		ty = 10335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15233 / 10335 ti = "15/15233/10335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15233/10335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15233 ÷ 215
    15233 ÷ 32768     		x = 0.464874267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10335 ÷ 215
    10335 ÷ 32768     		y = 0.315399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464874267578125 × 2 - 1) × π
    -0.07025146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22070149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315399169921875 × 2 - 1) × π
    0.36920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15988122320688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22070149} λ = -0.22070149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15988122320688))-π/2
    2×atan(3.18955440857216)-π/2
    2×1.26697936371349-π/2
    2.53395872742698-1.57079632675     		φ = 0.96316240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22070149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.645264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96316240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.185141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15233 KachelY 10335 -0.22070149 0.96316240 -12.645264 55.185141
    Oben rechts KachelX + 1 15234 KachelY 10335 -0.22050974 0.96316240 -12.634277 55.185141
    Unten links KachelX 15233 KachelY + 1 10336 -0.22070149 0.96305292 -12.645264 55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 15234 KachelY + 1 10336 -0.22050974 0.96305292 -12.634277 55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96316240-0.96305292) × R
    0.000109479999999995 × 6371000     		dl = 697.497079999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96316240-0.96305292) × R
    0.000109479999999995 × 6371000     		dr = 697.497079999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22070149--0.22050974) × cos(0.96316240) × R
    0.000191749999999991 × 0.570926511155455 × 6371000     		do = 697.466234893033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22070149--0.22050974) × cos(0.96305292) × R
    0.000191749999999991 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 697.576035567678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96316240)-sin(0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570926511155455-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.22050974--0.22070149)×8.98797862344258e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98797862344258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98797862344258e-05×40589641000000     		ar = 486518.955546914m²