Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15231 / 8320
↖ ↑ ↗
← N 65.946472°
W 12.667236°		 ← 497.93 m → N 65.946472°
W 12.656250°		 →
↑
497.96 m
↓
↑
497.96 m
↓
N 65.941993°
W 12.667236°		 ← 498.02 m →
247 969 m²		 N 65.941993°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464828491210938 y=0.253921508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464828491210938 × 215)
    floor (0.464828491210938 × 32768)
    floor (15231.5)     		tx = 15231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253921508789062 × 215)
    floor (0.253921508789062 × 32768)
    floor (8320.5)     		ty = 8320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15231 / 8320 ti = "15/15231/8320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15231/8320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15231 ÷ 215
    15231 ÷ 32768     		x = 0.464813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8320 ÷ 215
    8320 ÷ 32768     		y = 0.25390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.07037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22108498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25390625 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22108498} λ = -0.22108498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54625263414453))-π/2
    2×atan(4.69384761981689)-π/2
    2×1.36088969467217-π/2
    2.72177938934434-1.57079632675     		φ = 1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22108498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15231 KachelY 8320 -0.22108498 1.15098306 -12.667236 65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 15232 KachelY 8320 -0.22089323 1.15098306 -12.656250 65.946472
    Unten links KachelX 15231 KachelY + 1 8321 -0.22108498 1.15090490 -12.667236 65.941993
    Unten rechts KachelX + 1 15232 KachelY + 1 8321 -0.22089323 1.15090490 -12.656250 65.941993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15098306-1.15090490) × R
    7.81599999999383e-05 × 6371000     		dl = 497.957359999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15098306-1.15090490) × R
    7.81599999999383e-05 × 6371000     		dr = 497.957359999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22108498--0.22089323) × cos(1.15098306) × R
    0.000191749999999991 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 497.92787096326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22108498--0.22089323) × cos(1.15090490) × R
    0.000191749999999991 × 0.407661313663602 × 6371000     		du = 498.015061477993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15098306)-sin(1.15090490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407661313663602)×R²
    abs(-0.22089323--0.22108498)×7.13717365685151e-05×R²
    0.000191749999999991×7.13717365685151e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.13717365685151e-05×40589641000000     		ar = 247968.556800135m²