Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15230 / 8125
↖ ↑ ↗
← N 66.804894°
W 12.678223°		 ← 481.16 m → N 66.804894°
W 12.667236°		 →
↑
481.20 m
↓
↑
481.20 m
↓
N 66.800567°
W 12.678223°		 ← 481.24 m →
231 555 m²		 N 66.800567°
W 12.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464797973632812 y=0.247970581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464797973632812 × 215)
    floor (0.464797973632812 × 32768)
    floor (15230.5)     		tx = 15230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247970581054688 × 215)
    floor (0.247970581054688 × 32768)
    floor (8125.5)     		ty = 8125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15230 / 8125 ti = "15/15230/8125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15230/8125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15230 ÷ 215
    15230 ÷ 32768     		x = 0.46478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8125 ÷ 215
    8125 ÷ 32768     		y = 0.247955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247955322265625 × 2 - 1) × π
    0.50408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58364341584818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22127673} λ = -0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58364341584818))-π/2
    2×atan(4.87267669685709)-π/2
    2×1.36838084388467-π/2
    2.73676168776934-1.57079632675     		φ = 1.16596536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16596536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.804894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15230 KachelY 8125 -0.22127673 1.16596536 -12.678223 66.804894
    Oben rechts KachelX + 1 15231 KachelY 8125 -0.22108498 1.16596536 -12.667236 66.804894
    Unten links KachelX 15230 KachelY + 1 8126 -0.22127673 1.16588983 -12.678223 66.800567
    Unten rechts KachelX + 1 15231 KachelY + 1 8126 -0.22108498 1.16588983 -12.667236 66.800567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16596536-1.16588983) × R
    7.55299999999348e-05 × 6371000     		dl = 481.201629999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16596536-1.16588983) × R
    7.55299999999348e-05 × 6371000     		dr = 481.201629999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22127673--0.22108498) × cos(1.16596536) × R
    0.000191750000000018 × 0.393863395918513 × 6371000     		do = 481.158983592391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22127673--0.22108498) × cos(1.16588983) × R
    0.000191750000000018 × 0.393932819628529 × 6371000     		du = 481.243794321428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16596536)-sin(1.16588983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393863395918513-0.393932819628529)×R²
    abs(-0.22108498--0.22127673)×6.94237100161699e-05×R²
    0.000191750000000018×6.94237100161699e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.94237100161699e-05×40589641000000     		ar = 231554.892833818m²