Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15230 / 10158
↖ ↑ ↗
← N 56.279961°
W 12.678223°		 ← 678.18 m → N 56.279961°
W 12.667236°		 →
↑
678.19 m
↓
↑
678.19 m
↓
N 56.273862°
W 12.678223°		 ← 678.28 m →
459 970 m²		 N 56.273862°
W 12.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464797973632812 y=0.310012817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464797973632812 × 215)
    floor (0.464797973632812 × 32768)
    floor (15230.5)     		tx = 15230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310012817382812 × 215)
    floor (0.310012817382812 × 32768)
    floor (10158.5)     		ty = 10158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15230 / 10158 ti = "15/15230/10158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15230/10158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15230 ÷ 215
    15230 ÷ 32768     		x = 0.46478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10158 ÷ 215
    10158 ÷ 32768     		y = 0.30999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30999755859375 × 2 - 1) × π
    0.3800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19382054813788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22127673} λ = -0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19382054813788))-π/2
    2×atan(3.29966368003518)-π/2
    2×1.27653347309153-π/2
    2.55306694618306-1.57079632675     		φ = 0.98227062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98227062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.279961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15230 KachelY 10158 -0.22127673 0.98227062 -12.678223 56.279961
    Oben rechts KachelX + 1 15231 KachelY 10158 -0.22108498 0.98227062 -12.667236 56.279961
    Unten links KachelX 15230 KachelY + 1 10159 -0.22127673 0.98216417 -12.678223 56.273862
    Unten rechts KachelX + 1 15231 KachelY + 1 10159 -0.22108498 0.98216417 -12.667236 56.273862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98227062-0.98216417) × R
    0.00010644999999998 × 6371000     		dl = 678.192949999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98227062-0.98216417) × R
    0.00010644999999998 × 6371000     		dr = 678.192949999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22127673--0.22108498) × cos(0.98227062) × R
    0.000191750000000018 × 0.555135368523039 × 6371000     		do = 678.175155251024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22127673--0.22108498) × cos(0.98216417) × R
    0.000191750000000018 × 0.555223906231186 × 6371000     		du = 678.283316390401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98227062)-sin(0.98216417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555135368523039-0.555223906231186)×R²
    abs(-0.22108498--0.22127673)×8.85377081468741e-05×R²
    0.000191750000000018×8.85377081468741e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.85377081468741e-05×40589641000000     		ar = 459970.286651748m²