Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1523 / 1579
↖ ↑ ↗
← S 69.349338°
E 87.714844°		 ← 6 893.26 m → S 69.349338°
E 87.890625°		 →
↑
6 883.42 m
↓
↑
6 883.42 m
↓
S 69.411243°
E 87.714844°		 ← 6 873.50 m →
47 381 196 m²		 S 69.411243°
E 87.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743896484375 y=0.771240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743896484375 × 211)
    floor (0.743896484375 × 2048)
    floor (1523.5)     		tx = 1523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771240234375 × 211)
    floor (0.771240234375 × 2048)
    floor (1579.5)     		ty = 1579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1523 / 1579 ti = "11/1523/1579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1523/1579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1523 ÷ 211
    1523 ÷ 2048     		x = 0.74365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1579 ÷ 211
    1579 ÷ 2048     		y = 0.77099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    0.4873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53091283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77099609375 × 2 - 1) × π
    -0.5419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53091283} λ = 1.53091283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70271867450439))-π/2
    2×atan(0.182187541526536)-π/2
    2×0.180211016733717-π/2
    0.360422033467434-1.57079632675     		φ = -1.21037429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53091283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21037429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.349338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1523 KachelY 1579 1.53091283 -1.21037429 87.714844 -69.349338
    Oben rechts KachelX + 1 1524 KachelY 1579 1.53398079 -1.21037429 87.890625 -69.349338
    Unten links KachelX 1523 KachelY + 1 1580 1.53091283 -1.21145472 87.714844 -69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 1524 KachelY + 1 1580 1.53398079 -1.21145472 87.890625 -69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21037429--1.21145472) × R
    0.00108043000000002 × 6371000     		dl = 6883.41953000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21037429--1.21145472) × R
    0.00108043000000002 × 6371000     		dr = 6883.41953000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53091283-1.53398079) × cos(-1.21037429) × R
    0.00306796000000009 × 0.352669184786511 × 6371000     		do = 6893.26242019644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53091283-1.53398079) × cos(-1.21145472) × R
    0.00306796000000009 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 6873.49722079921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21037429)-sin(-1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352669184786511-0.351657968858022)×R²
    abs(1.53398079-1.53091283)×0.00101121592848991×R²
    0.00306796000000009×0.00101121592848991×6371000²
    0.00306796000000009×0.00101121592848991×40589641000000     		ar = 47381195.6979437m²