Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15229 / 10062
↖ ↑ ↗
← N 56.860986°
W 12.689209°		 ← 667.84 m → N 56.860986°
W 12.678223°		 →
↑
667.87 m
↓
↑
667.87 m
↓
N 56.854980°
W 12.689209°		 ← 667.94 m →
446 065 m²		 N 56.854980°
W 12.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464767456054688 y=0.307083129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464767456054688 × 215)
    floor (0.464767456054688 × 32768)
    floor (15229.5)     		tx = 15229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307083129882812 × 215)
    floor (0.307083129882812 × 32768)
    floor (10062.5)     		ty = 10062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15229 / 10062 ti = "15/15229/10062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15229/10062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15229 ÷ 215
    15229 ÷ 32768     		x = 0.464752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10062 ÷ 215
    10062 ÷ 32768     		y = 0.30706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.07049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22146848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30706787109375 × 2 - 1) × π
    0.3858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21222831759198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22146848} λ = -0.22146848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21222831759198))-π/2
    2×atan(3.36096561327744)-π/2
    2×1.28160387202714-π/2
    2.56320774405429-1.57079632675     		φ = 0.99241142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22146848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.689209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99241142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.860986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15229 KachelY 10062 -0.22146848 0.99241142 -12.689209 56.860986
    Oben rechts KachelX + 1 15230 KachelY 10062 -0.22127673 0.99241142 -12.678223 56.860986
    Unten links KachelX 15229 KachelY + 1 10063 -0.22146848 0.99230659 -12.689209 56.854980
    Unten rechts KachelX + 1 15230 KachelY + 1 10063 -0.22127673 0.99230659 -12.678223 56.854980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99241142-0.99230659) × R
    0.000104830000000056 × 6371000     		dl = 667.871930000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99241142-0.99230659) × R
    0.000104830000000056 × 6371000     		dr = 667.871930000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22146848--0.22127673) × cos(0.99241142) × R
    0.000191749999999991 × 0.546672257469805 × 6371000     		do = 667.836286611187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22146848--0.22127673) × cos(0.99230659) × R
    0.000191749999999991 × 0.546760033517102 × 6371000     		du = 667.943517275774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99241142)-sin(0.99230659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546672257469805-0.546760033517102)×R²
    abs(-0.22127673--0.22146848)×8.77760472964839e-05×R²
    0.000191749999999991×8.77760472964839e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.77760472964839e-05×40589641000000     		ar = 446064.918247508m²