Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15228 / 8322
↖ ↑ ↗
← N 65.937515°
W 12.700195°		 ← 498.08 m → N 65.937515°
W 12.689209°		 →
↑
498.15 m
↓
↑
498.15 m
↓
N 65.933035°
W 12.700195°		 ← 498.16 m →
248 138 m²		 N 65.933035°
W 12.689209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464736938476562 y=0.253982543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464736938476562 × 215)
    floor (0.464736938476562 × 32768)
    floor (15228.5)     		tx = 15228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253982543945312 × 215)
    floor (0.253982543945312 × 32768)
    floor (8322.5)     		ty = 8322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15228 / 8322 ti = "15/15228/8322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15228/8322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15228 ÷ 215
    15228 ÷ 32768     		x = 0.4647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8322 ÷ 215
    8322 ÷ 32768     		y = 0.25396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25396728515625 × 2 - 1) × π
    0.4920654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54586913894757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22166022} λ = -0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54586913894757))-π/2
    2×atan(4.69204789691402)-π/2
    2×1.36081152659419-π/2
    2.72162305318839-1.57079632675     		φ = 1.15082673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15082673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.937515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15228 KachelY 8322 -0.22166022 1.15082673 -12.700195 65.937515
    Oben rechts KachelX + 1 15229 KachelY 8322 -0.22146848 1.15082673 -12.689209 65.937515
    Unten links KachelX 15228 KachelY + 1 8323 -0.22166022 1.15074854 -12.700195 65.933035
    Unten rechts KachelX + 1 15229 KachelY + 1 8323 -0.22146848 1.15074854 -12.689209 65.933035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15082673-1.15074854) × R
    7.8189999999978e-05 × 6371000     		dl = 498.14848999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15082673-1.15074854) × R
    7.8189999999978e-05 × 6371000     		dr = 498.14848999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22166022--0.22146848) × cos(1.15082673) × R
    0.000191739999999996 × 0.407732692040787 × 6371000     		do = 498.076283455367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22166022--0.22146848) × cos(1.15074854) × R
    0.000191739999999996 × 0.40780408618789 × 6371000     		du = 498.163496799168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15082673)-sin(1.15074854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407732692040787-0.40780408618789)×R²
    abs(-0.22146848--0.22166022)×7.13941471034429e-05×R²
    0.000191739999999996×7.13941471034429e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.13941471034429e-05×40589641000000     		ar = 248137.671232244m²