Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15227 / 8126
↖ ↑ ↗
← N 66.800567°
W 12.711182°		 ← 481.24 m → N 66.800567°
W 12.700195°		 →
↑
481.27 m
↓
↑
481.27 m
↓
N 66.796239°
W 12.711182°		 ← 481.33 m →
231 626 m²		 N 66.796239°
W 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464706420898438 y=0.248001098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464706420898438 × 215)
    floor (0.464706420898438 × 32768)
    floor (15227.5)     		tx = 15227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248001098632812 × 215)
    floor (0.248001098632812 × 32768)
    floor (8126.5)     		ty = 8126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15227 / 8126 ti = "15/15227/8126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15227/8126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15227 ÷ 215
    15227 ÷ 32768     		x = 0.464691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8126 ÷ 215
    8126 ÷ 32768     		y = 0.24798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.07061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22185197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24798583984375 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58345166824969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22185197} λ = -0.22185197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58345166824969))-π/2
    2×atan(4.87174246237376)-π/2
    2×1.36834307937677-π/2
    2.73668615875355-1.57079632675     		φ = 1.16588983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22185197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.711182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16588983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.800567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15227 KachelY 8126 -0.22185197 1.16588983 -12.711182 66.800567
    Oben rechts KachelX + 1 15228 KachelY 8126 -0.22166022 1.16588983 -12.700195 66.800567
    Unten links KachelX 15227 KachelY + 1 8127 -0.22185197 1.16581429 -12.711182 66.796239
    Unten rechts KachelX + 1 15228 KachelY + 1 8127 -0.22166022 1.16581429 -12.700195 66.796239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16588983-1.16581429) × R
    7.55400000000961e-05 × 6371000     		dl = 481.265340000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16588983-1.16581429) × R
    7.55400000000961e-05 × 6371000     		dr = 481.265340000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22185197--0.22166022) × cos(1.16588983) × R
    0.000191750000000018 × 0.393932819628529 × 6371000     		do = 481.243794321428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22185197--0.22166022) × cos(1.16581429) × R
    0.000191750000000018 × 0.39400225028234 × 6371000     		du = 481.328613533276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16588983)-sin(1.16581429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393932819628529-0.39400225028234)×R²
    abs(-0.22166022--0.22185197)×6.94306538106537e-05×R²
    0.000191750000000018×6.94306538106537e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.94306538106537e-05×40589641000000     		ar = 231626.368680737m²