Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15224 / 21032
↖ ↑ ↗
← S 45.398450°
W 12.744140°		 ← 857.76 m → S 45.398450°
W 12.733154°		 →
↑
857.73 m
↓
↑
857.73 m
↓
S 45.406164°
W 12.744140°		 ← 857.64 m →
735 671 m²		 S 45.406164°
W 12.733154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464614868164062 y=0.641860961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464614868164062 × 215)
    floor (0.464614868164062 × 32768)
    floor (15224.5)     		tx = 15224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641860961914062 × 215)
    floor (0.641860961914062 × 32768)
    floor (21032.5)     		ty = 21032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15224 / 21032 ti = "15/15224/21032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15224/21032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15224 ÷ 215
    15224 ÷ 32768     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21032 ÷ 215
    21032 ÷ 32768     		y = 0.641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.28369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891242837736084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891242837736084))-π/2
    2×atan(0.410145691313742)-π/2
    2×0.389221949712168-π/2
    0.778443899424335-1.57079632675     		φ = -0.79235243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79235243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.398450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15224 KachelY 21032 -0.22242721 -0.79235243 -12.744140 -45.398450
    Oben rechts KachelX + 1 15225 KachelY 21032 -0.22223547 -0.79235243 -12.733154 -45.398450
    Unten links KachelX 15224 KachelY + 1 21033 -0.22242721 -0.79248706 -12.744140 -45.406164
    Unten rechts KachelX + 1 15225 KachelY + 1 21033 -0.22223547 -0.79248706 -12.733154 -45.406164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79235243--0.79248706) × R
    0.000134630000000024 × 6371000     		dl = 857.727730000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79235243--0.79248706) × R
    0.000134630000000024 × 6371000     		dr = 857.727730000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22223547) × cos(-0.79235243) × R
    0.000191739999999996 × 0.702172313331486 × 6371000     		do = 857.756522830941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22223547) × cos(-0.79248706) × R
    0.000191739999999996 × 0.702076449458818 × 6371000     		du = 857.639417868919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79235243)-sin(-0.79248706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702172313331486-0.702076449458818)×R²
    abs(-0.22223547--0.22242721)×9.58638726686889e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58638726686889e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58638726686889e-05×40589641000000     		ar = 735671.334244738m²