Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15224 / 10084
↖ ↑ ↗
← N 56.728622°
W 12.744140°		 ← 670.16 m → N 56.728622°
W 12.733154°		 →
↑
670.23 m
↓
↑
670.23 m
↓
N 56.722594°
W 12.744140°		 ← 670.27 m →
449 199 m²		 N 56.722594°
W 12.733154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464614868164062 y=0.307754516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464614868164062 × 215)
    floor (0.464614868164062 × 32768)
    floor (15224.5)     		tx = 15224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307754516601562 × 215)
    floor (0.307754516601562 × 32768)
    floor (10084.5)     		ty = 10084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15224 / 10084 ti = "15/15224/10084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15224/10084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15224 ÷ 215
    15224 ÷ 32768     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10084 ÷ 215
    10084 ÷ 32768     		y = 0.3077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3077392578125 × 2 - 1) × π
    0.384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20800987042541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20800987042541))-π/2
    2×atan(3.34681742009284)-π/2
    2×1.28044878016323-π/2
    2.56089756032646-1.57079632675     		φ = 0.99010123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99010123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.728622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15224 KachelY 10084 -0.22242721 0.99010123 -12.744140 56.728622
    Oben rechts KachelX + 1 15225 KachelY 10084 -0.22223547 0.99010123 -12.733154 56.728622
    Unten links KachelX 15224 KachelY + 1 10085 -0.22242721 0.98999603 -12.744140 56.722594
    Unten rechts KachelX + 1 15225 KachelY + 1 10085 -0.22223547 0.98999603 -12.733154 56.722594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99010123-0.98999603) × R
    0.000105200000000027 × 6371000     		dl = 670.229200000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99010123-0.98999603) × R
    0.000105200000000027 × 6371000     		dr = 670.229200000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22223547) × cos(0.99010123) × R
    0.000191739999999996 × 0.548605226860565 × 6371000     		do = 670.162726249003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22223547) × cos(0.98999603) × R
    0.000191739999999996 × 0.548693179600399 × 6371000     		du = 670.270167164659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99010123)-sin(0.98999603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548605226860565-0.548693179600399)×R²
    abs(-0.22223547--0.22242721)×8.795273983353e-05×R²
    0.000191739999999996×8.795273983353e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.795273983353e-05×40589641000000     		ar = 449198.633317617m²