Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15223 / 8444
↖ ↑ ↗
← N 65.385147°
W 12.755127°		 ← 508.83 m → N 65.385147°
W 12.744140°		 →
↑
508.85 m
↓
↑
508.85 m
↓
N 65.380571°
W 12.755127°		 ← 508.92 m →
258 943 m²		 N 65.380571°
W 12.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464584350585938 y=0.257705688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464584350585938 × 215)
    floor (0.464584350585938 × 32768)
    floor (15223.5)     		tx = 15223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257705688476562 × 215)
    floor (0.257705688476562 × 32768)
    floor (8444.5)     		ty = 8444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15223 / 8444 ti = "15/15223/8444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15223/8444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15223 ÷ 215
    15223 ÷ 32768     		x = 0.464569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8444 ÷ 215
    8444 ÷ 32768     		y = 0.2576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.07086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22261896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2576904296875 × 2 - 1) × π
    0.484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22261896} λ = -0.22261896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52247593193298))-π/2
    2×atan(4.58355973949747)-π/2
    2×1.35599121384998-π/2
    2.71198242769995-1.57079632675     		φ = 1.14118610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22261896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.755127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14118610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.385147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15223 KachelY 8444 -0.22261896 1.14118610 -12.755127 65.385147
    Oben rechts KachelX + 1 15224 KachelY 8444 -0.22242721 1.14118610 -12.744140 65.385147
    Unten links KachelX 15223 KachelY + 1 8445 -0.22261896 1.14110623 -12.755127 65.380571
    Unten rechts KachelX + 1 15224 KachelY + 1 8445 -0.22242721 1.14110623 -12.744140 65.380571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14118610-1.14110623) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000     		dl = 508.851769999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14118610-1.14110623) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000     		dr = 508.851769999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22261896--0.22242721) × cos(1.14118610) × R
    0.000191750000000018 × 0.416516480278439 × 6371000     		do = 508.83288058004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22261896--0.22242721) × cos(1.14110623) × R
    0.000191750000000018 × 0.416589091016431 × 6371000     		du = 508.921584707543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14118610)-sin(1.14110623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416516480278439-0.416589091016431)×R²
    abs(-0.22242721--0.22261896)×7.26107379921959e-05×R²
    0.000191750000000018×7.26107379921959e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.26107379921959e-05×40589641000000     		ar = 258943.080681533m²