Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15222 / 10267
↖ ↑ ↗
← N 55.609384°
W 12.766113°		 ← 690.02 m → N 55.609384°
W 12.755127°		 →
↑
690.11 m
↓
↑
690.11 m
↓
N 55.603178°
W 12.766113°		 ← 690.13 m →
476 226 m²		 N 55.603178°
W 12.755127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464553833007812 y=0.313339233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464553833007812 × 215)
    floor (0.464553833007812 × 32768)
    floor (15222.5)     		tx = 15222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313339233398438 × 215)
    floor (0.313339233398438 × 32768)
    floor (10267.5)     		ty = 10267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15222 / 10267 ti = "15/15222/10267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15222/10267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15222 ÷ 215
    15222 ÷ 32768     		x = 0.46453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10267 ÷ 215
    10267 ÷ 32768     		y = 0.313323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22281071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313323974609375 × 2 - 1) × π
    0.37335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17292005990353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22281071} λ = -0.22281071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17292005990353))-π/2
    2×atan(3.23141479998465)-π/2
    2×1.27068158705967-π/2
    2.54136317411934-1.57079632675     		φ = 0.97056685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22281071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.766113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97056685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.609384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15222 KachelY 10267 -0.22281071 0.97056685 -12.766113 55.609384
    Oben rechts KachelX + 1 15223 KachelY 10267 -0.22261896 0.97056685 -12.755127 55.609384
    Unten links KachelX 15222 KachelY + 1 10268 -0.22281071 0.97045853 -12.766113 55.603178
    Unten rechts KachelX + 1 15223 KachelY + 1 10268 -0.22261896 0.97045853 -12.755127 55.603178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97056685-0.97045853) × R
    0.00010831999999994 × 6371000     		dl = 690.106719999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97056685-0.97045853) × R
    0.00010831999999994 × 6371000     		dr = 690.106719999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22281071--0.22261896) × cos(0.97056685) × R
    0.000191749999999991 × 0.564831853898073 × 6371000     		do = 690.020762372118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22281071--0.22261896) × cos(0.97045853) × R
    0.000191749999999991 × 0.564921236900427 × 6371000     		du = 690.129956156075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97056685)-sin(0.97045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564831853898073-0.564921236900427)×R²
    abs(-0.22261896--0.22281071)×8.93830023531716e-05×R²
    0.000191749999999991×8.93830023531716e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.93830023531716e-05×40589641000000     		ar = 476225.643199793m²