Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15221 / 10265
↖ ↑ ↗
← N 55.621793°
W 12.777100°		 ← 689.80 m → N 55.621793°
W 12.766113°		 →
↑
689.85 m
↓
↑
689.85 m
↓
N 55.615589°
W 12.777100°		 ← 689.91 m →
475 899 m²		 N 55.615589°
W 12.766113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464523315429688 y=0.313278198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464523315429688 × 215)
    floor (0.464523315429688 × 32768)
    floor (15221.5)     		tx = 15221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313278198242188 × 215)
    floor (0.313278198242188 × 32768)
    floor (10265.5)     		ty = 10265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15221 / 10265 ti = "15/15221/10265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15221/10265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15221 ÷ 215
    15221 ÷ 32768     		x = 0.464508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10265 ÷ 215
    10265 ÷ 32768     		y = 0.313262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.07098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22300246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313262939453125 × 2 - 1) × π
    0.37347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17330355510049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22300246} λ = -0.22300246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17330355510049))-π/2
    2×atan(3.23265426968998)-π/2
    2×1.27078987507532-π/2
    2.54157975015064-1.57079632675     		φ = 0.97078342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22300246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.777100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97078342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.621793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15221 KachelY 10265 -0.22300246 0.97078342 -12.777100 55.621793
    Oben rechts KachelX + 1 15222 KachelY 10265 -0.22281071 0.97078342 -12.766113 55.621793
    Unten links KachelX 15221 KachelY + 1 10266 -0.22300246 0.97067514 -12.777100 55.615589
    Unten rechts KachelX + 1 15222 KachelY + 1 10266 -0.22281071 0.97067514 -12.766113 55.615589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97078342-0.97067514) × R
    0.000108279999999961 × 6371000     		dl = 689.851879999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97078342-0.97067514) × R
    0.000108279999999961 × 6371000     		dr = 689.851879999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22300246--0.22281071) × cos(0.97078342) × R
    0.000191750000000018 × 0.564653125785507 × 6371000     		do = 689.802421094828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22300246--0.22281071) × cos(0.97067514) × R
    0.000191750000000018 × 0.564742489026438 × 6371000     		du = 689.911590737457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97078342)-sin(0.97067514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564653125785507-0.564742489026438)×R²
    abs(-0.22281071--0.22300246)×8.93632409312284e-05×R²
    0.000191750000000018×8.93632409312284e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.93632409312284e-05×40589641000000     		ar = 475899.152927418m²