Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15220 / 21005
↖ ↑ ↗
← S 45.189780°
W 12.788086°		 ← 860.92 m → S 45.189780°
W 12.777100°		 →
↑
860.91 m
↓
↑
860.91 m
↓
S 45.197522°
W 12.788086°		 ← 860.80 m →
741 126 m²		 S 45.197522°
W 12.777100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464492797851562 y=0.641036987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464492797851562 × 215)
    floor (0.464492797851562 × 32768)
    floor (15220.5)     		tx = 15220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641036987304688 × 215)
    floor (0.641036987304688 × 32768)
    floor (21005.5)     		ty = 21005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15220 / 21005 ti = "15/15220/21005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15220/21005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15220 ÷ 215
    15220 ÷ 32768     		x = 0.4644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21005 ÷ 215
    21005 ÷ 32768     		y = 0.641021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.071044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22319420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.28204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.886065652577118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22319420} λ = -0.22319420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886065652577118))-π/2
    2×atan(0.41227459761575)-π/2
    2×0.39104293793678-π/2
    0.78208587587356-1.57079632675     		φ = -0.78871045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22319420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78871045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.189780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15220 KachelY 21005 -0.22319420 -0.78871045 -12.788086 -45.189780
    Oben rechts KachelX + 1 15221 KachelY 21005 -0.22300246 -0.78871045 -12.777100 -45.189780
    Unten links KachelX 15220 KachelY + 1 21006 -0.22319420 -0.78884558 -12.788086 -45.197522
    Unten rechts KachelX + 1 15221 KachelY + 1 21006 -0.22300246 -0.78884558 -12.777100 -45.197522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78871045--0.78884558) × R
    0.000135130000000094 × 6371000     		dl = 860.913230000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78871045--0.78884558) × R
    0.000135130000000094 × 6371000     		dr = 860.913230000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22319420--0.22300246) × cos(-0.78871045) × R
    0.000191739999999996 × 0.704760766234894 × 6371000     		do = 860.918513584186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22319420--0.22300246) × cos(-0.78884558) × R
    0.000191739999999996 × 0.704664892492653 × 6371000     		du = 860.801396565735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78871045)-sin(-0.78884558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704760766234894-0.704664892492653)×R²
    abs(-0.22300246--0.22319420)×9.58737422415146e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58737422415146e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58737422415146e-05×40589641000000     		ar = 741125.725629444m²