Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15219 / 3439
↖ ↑ ↗
← N 71.642914°
E154.401856°		 ← 769.46 m → N 71.642914°
E154.423828°		 →
↑
769.62 m
↓
↑
769.62 m
↓
N 71.635993°
E154.401856°		 ← 769.74 m →
592 299 m²		 N 71.635993°
E154.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928924560546875 y=0.209930419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928924560546875 × 214)
    floor (0.928924560546875 × 16384)
    floor (15219.5)     		tx = 15219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209930419921875 × 214)
    floor (0.209930419921875 × 16384)
    floor (3439.5)     		ty = 3439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15219 / 3439 ti = "14/15219/3439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15219/3439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15219 ÷ 214
    15219 ÷ 16384     		x = 0.92889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3439 ÷ 214
    3439 ÷ 16384     		y = 0.20989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92889404296875 × 2 - 1) × π
    0.8577880859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.69482075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20989990234375 × 2 - 1) × π
    0.5802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82275267115302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69482075} λ = 2.69482075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82275267115302))-π/2
    2×atan(6.18887095076699)-π/2
    2×1.41060053240744-π/2
    2.82120106481488-1.57079632675     		φ = 1.25040474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69482075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25040474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.642914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15219 KachelY 3439 2.69482075 1.25040474 154.401856 71.642914
    Oben rechts KachelX + 1 15220 KachelY 3439 2.69520424 1.25040474 154.423828 71.642914
    Unten links KachelX 15219 KachelY + 1 3440 2.69482075 1.25028394 154.401856 71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 15220 KachelY + 1 3440 2.69520424 1.25028394 154.423828 71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25040474-1.25028394) × R
    0.000120799999999921 × 6371000     		dl = 769.616799999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25040474-1.25028394) × R
    0.000120799999999921 × 6371000     		dr = 769.616799999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69482075-2.69520424) × cos(1.25040474) × R
    0.000383489999999931 × 0.314938244543735 × 6371000     		do = 769.461777005752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69482075-2.69520424) × cos(1.25028394) × R
    0.000383489999999931 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 769.74189268426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25040474)-sin(1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314938244543735-0.315052894995122)×R²
    abs(2.69520424-2.69482075)×0.000114650451386589×R²
    0.000383489999999931×0.000114650451386589×6371000²
    0.000383489999999931×0.000114650451386589×40589641000000     		ar = 592298.50212837m²