Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15219 / 10163
↖ ↑ ↗
← N 56.249454°
W 12.799072°		 ← 678.72 m → N 56.249454°
W 12.788086°		 →
↑
678.77 m
↓
↑
678.77 m
↓
N 56.243350°
W 12.799072°		 ← 678.82 m →
460 726 m²		 N 56.243350°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464462280273438 y=0.310165405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464462280273438 × 215)
    floor (0.464462280273438 × 32768)
    floor (15219.5)     		tx = 15219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310165405273438 × 215)
    floor (0.310165405273438 × 32768)
    floor (10163.5)     		ty = 10163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15219 / 10163 ti = "15/15219/10163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15219/10163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15219 ÷ 215
    15219 ÷ 32768     		x = 0.464447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10163 ÷ 215
    10163 ÷ 32768     		y = 0.310150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.07110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22338595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310150146484375 × 2 - 1) × π
    0.37969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19286181014548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22338595} λ = -0.22338595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19286181014548))-π/2
    2×atan(3.29650168310848)-π/2
    2×1.27626725228605-π/2
    2.5525345045721-1.57079632675     		φ = 0.98173818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22338595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.799072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98173818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.249454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15219 KachelY 10163 -0.22338595 0.98173818 -12.799072 56.249454
    Oben rechts KachelX + 1 15220 KachelY 10163 -0.22319420 0.98173818 -12.788086 56.249454
    Unten links KachelX 15219 KachelY + 1 10164 -0.22338595 0.98163164 -12.799072 56.243350
    Unten rechts KachelX + 1 15220 KachelY + 1 10164 -0.22319420 0.98163164 -12.788086 56.243350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98173818-0.98163164) × R
    0.000106539999999988 × 6371000     		dl = 678.766339999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98173818-0.98163164) × R
    0.000106539999999988 × 6371000     		dr = 678.766339999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22338595--0.22319420) × cos(0.98173818) × R
    0.000191749999999991 × 0.555578152116207 × 6371000     		do = 678.716077067595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22338595--0.22319420) × cos(0.98163164) × R
    0.000191749999999991 × 0.555666733171665 × 6371000     		du = 678.824291161749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98173818)-sin(0.98163164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555578152116207-0.555666733171665)×R²
    abs(-0.22319420--0.22338595)×8.85810554582811e-05×R²
    0.000191749999999991×8.85810554582811e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.85810554582811e-05×40589641000000     		ar = 460726.354007727m²