Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15219 / 10067
↖ ↑ ↗
← N 56.830944°
W 12.799072°		 ← 668.37 m → N 56.830944°
W 12.788086°		 →
↑
668.38 m
↓
↑
668.38 m
↓
N 56.824933°
W 12.799072°		 ← 668.48 m →
446 764 m²		 N 56.824933°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464462280273438 y=0.307235717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464462280273438 × 215)
    floor (0.464462280273438 × 32768)
    floor (15219.5)     		tx = 15219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307235717773438 × 215)
    floor (0.307235717773438 × 32768)
    floor (10067.5)     		ty = 10067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15219 / 10067 ti = "15/15219/10067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15219/10067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15219 ÷ 215
    15219 ÷ 32768     		x = 0.464447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10067 ÷ 215
    10067 ÷ 32768     		y = 0.307220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.07110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22338595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307220458984375 × 2 - 1) × π
    0.38555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21126957959958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22338595} λ = -0.22338595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21126957959958))-π/2
    2×atan(3.35774487202304)-π/2
    2×1.28134170908913-π/2
    2.56268341817826-1.57079632675     		φ = 0.99188709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22338595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.799072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99188709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.830944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15219 KachelY 10067 -0.22338595 0.99188709 -12.799072 56.830944
    Oben rechts KachelX + 1 15220 KachelY 10067 -0.22319420 0.99188709 -12.788086 56.830944
    Unten links KachelX 15219 KachelY + 1 10068 -0.22338595 0.99178218 -12.799072 56.824933
    Unten rechts KachelX + 1 15220 KachelY + 1 10068 -0.22319420 0.99178218 -12.788086 56.824933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99188709-0.99178218) × R
    0.000104910000000014 × 6371000     		dl = 668.381610000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99188709-0.99178218) × R
    0.000104910000000014 × 6371000     		dr = 668.381610000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22338595--0.22319420) × cos(0.99188709) × R
    0.000191749999999991 × 0.547111228282178 × 6371000     		do = 668.372550585186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22338595--0.22319420) × cos(0.99178218) × R
    0.000191749999999991 × 0.547199041227079 × 6371000     		du = 668.479826325335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99188709)-sin(0.99178218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547111228282178-0.547199041227079)×R²
    abs(-0.22319420--0.22338595)×8.78129449010112e-05×R²
    0.000191749999999991×8.78129449010112e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.78129449010112e-05×40589641000000     		ar = 446763.772416396m²