Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15217 / 10161
↖ ↑ ↗
← N 56.261660°
W 12.821045°		 ← 678.50 m → N 56.261660°
W 12.810059°		 →
↑
678.58 m
↓
↑
678.58 m
↓
N 56.255557°
W 12.821045°		 ← 678.61 m →
460 450 m²		 N 56.255557°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464401245117188 y=0.310104370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464401245117188 × 215)
    floor (0.464401245117188 × 32768)
    floor (15217.5)     		tx = 15217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310104370117188 × 215)
    floor (0.310104370117188 × 32768)
    floor (10161.5)     		ty = 10161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15217 / 10161 ti = "15/15217/10161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15217/10161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15217 ÷ 215
    15217 ÷ 32768     		x = 0.464385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10161 ÷ 215
    10161 ÷ 32768     		y = 0.310089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.07122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22376945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310089111328125 × 2 - 1) × π
    0.37982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19324530534244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22376945} λ = -0.22376945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19324530534244))-π/2
    2×atan(3.2977661181076)-π/2
    2×1.2763737660795-π/2
    2.55274753215901-1.57079632675     		φ = 0.98195121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22376945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98195121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.261660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15217 KachelY 10161 -0.22376945 0.98195121 -12.821045 56.261660
    Oben rechts KachelX + 1 15218 KachelY 10161 -0.22357770 0.98195121 -12.810059 56.261660
    Unten links KachelX 15217 KachelY + 1 10162 -0.22376945 0.98184470 -12.821045 56.255557
    Unten rechts KachelX + 1 15218 KachelY + 1 10162 -0.22357770 0.98184470 -12.810059 56.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98195121-0.98184470) × R
    0.000106509999999949 × 6371000     		dl = 678.575209999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98195121-0.98184470) × R
    0.000106509999999949 × 6371000     		dr = 678.575209999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22376945--0.22357770) × cos(0.98195121) × R
    0.000191750000000018 × 0.555401012666707 × 6371000     		do = 678.499676563461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22376945--0.22357770) × cos(0.98184470) × R
    0.000191750000000018 × 0.555489581384978 × 6371000     		du = 678.607875586023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98195121)-sin(0.98184470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555401012666707-0.555489581384978)×R²
    abs(-0.22357770--0.22376945)×8.85687182706762e-05×R²
    0.000191750000000018×8.85687182706762e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.85687182706762e-05×40589641000000     		ar = 460449.771530899m²