Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15217 / 10160
↖ ↑ ↗
← N 56.267761°
W 12.821045°		 ← 678.39 m → N 56.267761°
W 12.810059°		 →
↑
678.38 m
↓
↑
678.38 m
↓
N 56.261660°
W 12.821045°		 ← 678.50 m →
460 247 m²		 N 56.261660°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464401245117188 y=0.310073852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464401245117188 × 215)
    floor (0.464401245117188 × 32768)
    floor (15217.5)     		tx = 15217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310073852539062 × 215)
    floor (0.310073852539062 × 32768)
    floor (10160.5)     		ty = 10160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15217 / 10160 ti = "15/15217/10160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15217/10160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15217 ÷ 215
    15217 ÷ 32768     		x = 0.464385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10160 ÷ 215
    10160 ÷ 32768     		y = 0.31005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.07122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22376945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31005859375 × 2 - 1) × π
    0.3798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19343705294092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22376945} λ = -0.22376945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19343705294092))-π/2
    2×atan(3.29839851746969)-π/2
    2×1.27642701023985-π/2
    2.5528540204797-1.57079632675     		φ = 0.98205769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22376945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98205769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.267761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15217 KachelY 10160 -0.22376945 0.98205769 -12.821045 56.267761
    Oben rechts KachelX + 1 15218 KachelY 10160 -0.22357770 0.98205769 -12.810059 56.267761
    Unten links KachelX 15217 KachelY + 1 10161 -0.22376945 0.98195121 -12.821045 56.261660
    Unten rechts KachelX + 1 15218 KachelY + 1 10161 -0.22357770 0.98195121 -12.810059 56.261660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98205769-0.98195121) × R
    0.00010648000000002 × 6371000     		dl = 678.384080000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98205769-0.98195121) × R
    0.00010648000000002 × 6371000     		dr = 678.384080000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22376945--0.22357770) × cos(0.98205769) × R
    0.000191750000000018 × 0.55531246259701 × 6371000     		do = 678.391500322729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22376945--0.22357770) × cos(0.98195121) × R
    0.000191750000000018 × 0.555401012666707 × 6371000     		du = 678.499676563461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98205769)-sin(0.98195121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55531246259701-0.555401012666707)×R²
    abs(-0.22357770--0.22376945)×8.855006969688e-05×R²
    0.000191750000000018×8.855006969688e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.855006969688e-05×40589641000000     		ar = 460246.686781552m²