Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15217 / 10063
↖ ↑ ↗
← N 56.854980°
W 12.821045°		 ← 667.94 m → N 56.854980°
W 12.810059°		 →
↑
668 m
↓
↑
668 m
↓
N 56.848972°
W 12.821045°		 ← 668.05 m →
446 222 m²		 N 56.848972°
W 12.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464401245117188 y=0.307113647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464401245117188 × 215)
    floor (0.464401245117188 × 32768)
    floor (15217.5)     		tx = 15217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307113647460938 × 215)
    floor (0.307113647460938 × 32768)
    floor (10063.5)     		ty = 10063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15217 / 10063 ti = "15/15217/10063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15217/10063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15217 ÷ 215
    15217 ÷ 32768     		x = 0.464385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10063 ÷ 215
    10063 ÷ 32768     		y = 0.307098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.07122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22376945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307098388671875 × 2 - 1) × π
    0.38580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2120365699935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22376945} λ = -0.22376945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2120365699935))-π/2
    2×atan(3.36032121797512)-π/2
    2×1.28155145627295-π/2
    2.56310291254591-1.57079632675     		φ = 0.99230659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22376945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99230659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.854980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15217 KachelY 10063 -0.22376945 0.99230659 -12.821045 56.854980
    Oben rechts KachelX + 1 15218 KachelY 10063 -0.22357770 0.99230659 -12.810059 56.854980
    Unten links KachelX 15217 KachelY + 1 10064 -0.22376945 0.99220174 -12.821045 56.848972
    Unten rechts KachelX + 1 15218 KachelY + 1 10064 -0.22357770 0.99220174 -12.810059 56.848972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99230659-0.99220174) × R
    0.000104849999999934 × 6371000     		dl = 667.999349999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99230659-0.99220174) × R
    0.000104849999999934 × 6371000     		dr = 667.999349999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22376945--0.22357770) × cos(0.99230659) × R
    0.000191750000000018 × 0.546760033517102 × 6371000     		do = 667.943517275871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22376945--0.22357770) × cos(0.99220174) × R
    0.000191750000000018 × 0.546847820300513 × 6371000     		du = 668.050761056117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99230659)-sin(0.99220174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546760033517102-0.546847820300513)×R²
    abs(-0.22357770--0.22376945)×8.77867834111479e-05×R²
    0.000191750000000018×8.77867834111479e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.77867834111479e-05×40589641000000     		ar = 446221.655173013m²