Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15216 / 8113
↖ ↑ ↗
← N 66.856765°
W 12.832032°		 ← 480.14 m → N 66.856765°
W 12.821045°		 →
↑
480.18 m
↓
↑
480.18 m
↓
N 66.852446°
W 12.832032°		 ← 480.23 m →
230 576 m²		 N 66.852446°
W 12.821045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464370727539062 y=0.247604370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464370727539062 × 215)
    floor (0.464370727539062 × 32768)
    floor (15216.5)     		tx = 15216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247604370117188 × 215)
    floor (0.247604370117188 × 32768)
    floor (8113.5)     		ty = 8113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15216 / 8113 ti = "15/15216/8113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15216/8113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15216 ÷ 215
    15216 ÷ 32768     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8113 ÷ 215
    8113 ÷ 32768     		y = 0.247589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247589111328125 × 2 - 1) × π
    0.50482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58594438702994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58594438702994))-π/2
    2×atan(4.88390149453014)-π/2
    2×1.36883349913605-π/2
    2.7376669982721-1.57079632675     		φ = 1.16687067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16687067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.856765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15216 KachelY 8113 -0.22396120 1.16687067 -12.832032 66.856765
    Oben rechts KachelX + 1 15217 KachelY 8113 -0.22376945 1.16687067 -12.821045 66.856765
    Unten links KachelX 15216 KachelY + 1 8114 -0.22396120 1.16679530 -12.832032 66.852446
    Unten rechts KachelX + 1 15217 KachelY + 1 8114 -0.22376945 1.16679530 -12.821045 66.852446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16687067-1.16679530) × R
    7.5370000000019e-05 × 6371000     		dl = 480.182270000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16687067-1.16679530) × R
    7.5370000000019e-05 × 6371000     		dr = 480.182270000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22376945) × cos(1.16687067) × R
    0.000191749999999991 × 0.393031101754713 × 6371000     		do = 480.142220374277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22376945) × cos(1.16679530) × R
    0.000191749999999991 × 0.393100405250983 × 6371000     		du = 480.226884245483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16687067)-sin(1.16679530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393031101754713-0.393100405250983)×R²
    abs(-0.22376945--0.22396120)×6.93034962699901e-05×R²
    0.000191749999999991×6.93034962699901e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.93034962699901e-05×40589641000000     		ar = 230576.108455903m²