Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15214 / 10156
↖ ↑ ↗
← N 56.292157°
W 12.854004°		 ← 677.96 m → N 56.292157°
W 12.843017°		 →
↑
678 m
↓
↑
678 m
↓
N 56.286059°
W 12.854004°		 ← 678.07 m →
459 694 m²		 N 56.286059°
W 12.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464309692382812 y=0.309951782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464309692382812 × 215)
    floor (0.464309692382812 × 32768)
    floor (15214.5)     		tx = 15214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309951782226562 × 215)
    floor (0.309951782226562 × 32768)
    floor (10156.5)     		ty = 10156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15214 / 10156 ti = "15/15214/10156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15214/10156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15214 ÷ 215
    15214 ÷ 32768     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10156 ÷ 215
    10156 ÷ 32768     		y = 0.3099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3099365234375 × 2 - 1) × π
    0.380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19420404333484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19420404333484))-π/2
    2×atan(3.30092932787748)-π/2
    2×1.27663990198954-π/2
    2.55327980397908-1.57079632675     		φ = 0.98248348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98248348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.292157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15214 KachelY 10156 -0.22434469 0.98248348 -12.854004 56.292157
    Oben rechts KachelX + 1 15215 KachelY 10156 -0.22415294 0.98248348 -12.843017 56.292157
    Unten links KachelX 15214 KachelY + 1 10157 -0.22434469 0.98237706 -12.854004 56.286059
    Unten rechts KachelX + 1 15215 KachelY + 1 10157 -0.22415294 0.98237706 -12.843017 56.286059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98248348-0.98237706) × R
    0.00010641999999994 × 6371000     		dl = 678.001819999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98248348-0.98237706) × R
    0.00010641999999994 × 6371000     		dr = 678.001819999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22415294) × cos(0.98248348) × R
    0.000191750000000018 × 0.554958307511156 × 6371000     		do = 677.958850569263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22415294) × cos(0.98237706) × R
    0.000191750000000018 × 0.55504683284251 × 6371000     		du = 678.066996588664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98248348)-sin(0.98237706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554958307511156-0.55504683284251)×R²
    abs(-0.22415294--0.22434469)×8.85253313541723e-05×R²
    0.000191750000000018×8.85253313541723e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.85253313541723e-05×40589641000000     		ar = 459693.996603153m²