Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15213 / 10274
↖ ↑ ↗
← N 55.565922°
W 12.864990°		 ← 690.79 m → N 55.565922°
W 12.854004°		 →
↑
690.81 m
↓
↑
690.81 m
↓
N 55.559709°
W 12.864990°		 ← 690.89 m →
477 237 m²		 N 55.559709°
W 12.854004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464279174804688 y=0.313552856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464279174804688 × 215)
    floor (0.464279174804688 × 32768)
    floor (15213.5)     		tx = 15213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313552856445312 × 215)
    floor (0.313552856445312 × 32768)
    floor (10274.5)     		ty = 10274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15213 / 10274 ti = "15/15213/10274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15213/10274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15213 ÷ 215
    15213 ÷ 32768     		x = 0.464263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10274 ÷ 215
    10274 ÷ 32768     		y = 0.31353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.07147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22453644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31353759765625 × 2 - 1) × π
    0.3729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17157782671417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22453644} λ = -0.22453644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17157782671417))-π/2
    2×atan(3.2270803973318)-π/2
    2×1.27030230905521-π/2
    2.54060461811041-1.57079632675     		φ = 0.96980829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22453644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.864990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96980829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.565922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15213 KachelY 10274 -0.22453644 0.96980829 -12.864990 55.565922
    Oben rechts KachelX + 1 15214 KachelY 10274 -0.22434469 0.96980829 -12.854004 55.565922
    Unten links KachelX 15213 KachelY + 1 10275 -0.22453644 0.96969986 -12.864990 55.559709
    Unten rechts KachelX + 1 15214 KachelY + 1 10275 -0.22434469 0.96969986 -12.854004 55.559709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96980829-0.96969986) × R
    0.000108430000000048 × 6371000     		dl = 690.807530000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96980829-0.96969986) × R
    0.000108430000000048 × 6371000     		dr = 690.807530000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22453644--0.22434469) × cos(0.96980829) × R
    0.000191749999999991 × 0.565457659611341 × 6371000     		do = 690.78527119432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22453644--0.22434469) × cos(0.96969986) × R
    0.000191749999999991 × 0.565547086892412 × 6371000     		du = 690.894519070897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96980829)-sin(0.96969986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565457659611341-0.565547086892412)×R²
    abs(-0.22434469--0.22453644)×8.94272810708641e-05×R²
    0.000191749999999991×8.94272810708641e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.94272810708641e-05×40589641000000     		ar = 477237.402049719m²