Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15212 / 20870
↖ ↑ ↗
← S 44.134913°
W 12.875977°		 ← 876.77 m → S 44.134913°
W 12.864990°		 →
↑
876.71 m
↓
↑
876.71 m
↓
S 44.142798°
W 12.875977°		 ← 876.66 m →
768 627 m²		 S 44.142798°
W 12.864990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464248657226562 y=0.636917114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464248657226562 × 215)
    floor (0.464248657226562 × 32768)
    floor (15212.5)     		tx = 15212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636917114257812 × 215)
    floor (0.636917114257812 × 32768)
    floor (20870.5)     		ty = 20870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15212 / 20870 ti = "15/15212/20870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15212/20870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15212 ÷ 215
    15212 ÷ 32768     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20870 ÷ 215
    20870 ÷ 32768     		y = 0.63690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.2738037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860179726782288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860179726782288))-π/2
    2×atan(0.423086035592329)-π/2
    2×0.400248386068191-π/2
    0.800496772136383-1.57079632675     		φ = -0.77029955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77029955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.134913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15212 KachelY 20870 -0.22472819 -0.77029955 -12.875977 -44.134913
    Oben rechts KachelX + 1 15213 KachelY 20870 -0.22453644 -0.77029955 -12.864990 -44.134913
    Unten links KachelX 15212 KachelY + 1 20871 -0.22472819 -0.77043716 -12.875977 -44.142798
    Unten rechts KachelX + 1 15213 KachelY + 1 20871 -0.22453644 -0.77043716 -12.864990 -44.142798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77029955--0.77043716) × R
    0.000137609999999899 × 6371000     		dl = 876.713309999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77029955--0.77043716) × R
    0.000137609999999899 × 6371000     		dr = 876.713309999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(-0.77029955) × R
    0.000191749999999991 × 0.717702110094196 × 6371000     		do = 876.773067498848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(-0.77043716) × R
    0.000191749999999991 × 0.717606278540172 × 6371000     		du = 876.655995911064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77029955)-sin(-0.77043716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717702110094196-0.717606278540172)×R²
    abs(-0.22453644--0.22472819)×9.58315540239285e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58315540239285e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58315540239285e-05×40589641000000     		ar = 768627.300228222m²