Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15212 / 10250
↖ ↑ ↗
← N 55.714735°
W 12.875977°		 ← 688.17 m → N 55.714735°
W 12.864990°		 →
↑
688.20 m
↓
↑
688.20 m
↓
N 55.708545°
W 12.875977°		 ← 688.28 m →
473 630 m²		 N 55.708545°
W 12.864990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464248657226562 y=0.312820434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464248657226562 × 215)
    floor (0.464248657226562 × 32768)
    floor (15212.5)     		tx = 15212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312820434570312 × 215)
    floor (0.312820434570312 × 32768)
    floor (10250.5)     		ty = 10250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15212 / 10250 ti = "15/15212/10250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15212/10250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15212 ÷ 215
    15212 ÷ 32768     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10250 ÷ 215
    10250 ÷ 32768     		y = 0.31280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31280517578125 × 2 - 1) × π
    0.3743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1761797690777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1761797690777))-π/2
    2×atan(3.24196545915158)-π/2
    2×1.27160094327516-π/2
    2.54320188655032-1.57079632675     		φ = 0.97240556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97240556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.714735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15212 KachelY 10250 -0.22472819 0.97240556 -12.875977 55.714735
    Oben rechts KachelX + 1 15213 KachelY 10250 -0.22453644 0.97240556 -12.864990 55.714735
    Unten links KachelX 15212 KachelY + 1 10251 -0.22472819 0.97229754 -12.875977 55.708545
    Unten rechts KachelX + 1 15213 KachelY + 1 10251 -0.22453644 0.97229754 -12.864990 55.708545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97240556-0.97229754) × R
    0.000108019999999986 × 6371000     		dl = 688.195419999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97240556-0.97229754) × R
    0.000108019999999986 × 6371000     		dr = 688.195419999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(0.97240556) × R
    0.000191749999999991 × 0.563313585383596 × 6371000     		do = 688.165985962793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(0.97229754) × R
    0.000191749999999991 × 0.56340283288605 × 6371000     		du = 688.275014214756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97240556)-sin(0.97229754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563313585383596-0.56340283288605)×R²
    abs(-0.22453644--0.22472819)×8.92475024544259e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92475024544259e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92475024544259e-05×40589641000000     		ar = 473630.19657199m²