Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15212 / 10095
↖ ↑ ↗
← N 56.662265°
W 12.875977°		 ← 671.38 m → N 56.662265°
W 12.864990°		 →
↑
671.44 m
↓
↑
671.44 m
↓
N 56.656226°
W 12.875977°		 ← 671.49 m →
450 827 m²		 N 56.656226°
W 12.864990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464248657226562 y=0.308090209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464248657226562 × 215)
    floor (0.464248657226562 × 32768)
    floor (15212.5)     		tx = 15212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308090209960938 × 215)
    floor (0.308090209960938 × 32768)
    floor (10095.5)     		ty = 10095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15212 / 10095 ti = "15/15212/10095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15212/10095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15212 ÷ 215
    15212 ÷ 32768     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10095 ÷ 215
    10095 ÷ 32768     		y = 0.308074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308074951171875 × 2 - 1) × π
    0.38385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20590064684213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20590064684213))-π/2
    2×atan(3.33976567333106)-π/2
    2×1.27986970430932-π/2
    2.55973940861865-1.57079632675     		φ = 0.98894308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98894308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.662265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15212 KachelY 10095 -0.22472819 0.98894308 -12.875977 56.662265
    Oben rechts KachelX + 1 15213 KachelY 10095 -0.22453644 0.98894308 -12.864990 56.662265
    Unten links KachelX 15212 KachelY + 1 10096 -0.22472819 0.98883769 -12.875977 56.656226
    Unten rechts KachelX + 1 15213 KachelY + 1 10096 -0.22453644 0.98883769 -12.864990 56.656226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98894308-0.98883769) × R
    0.000105389999999983 × 6371000     		dl = 671.439689999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98894308-0.98883769) × R
    0.000105389999999983 × 6371000     		dr = 671.439689999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(0.98894308) × R
    0.000191749999999991 × 0.549573166529204 × 6371000     		do = 671.380150978829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(0.98883769) × R
    0.000191749999999991 × 0.549661211087751 × 6371000     		du = 671.487709667299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98894308)-sin(0.98883769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549573166529204-0.549661211087751)×R²
    abs(-0.22453644--0.22472819)×8.80445585473844e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80445585473844e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80445585473844e-05×40589641000000     		ar = 450827.390448926m²