Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15212 / 10068
↖ ↑ ↗
← N 56.824933°
W 12.875977°		 ← 668.48 m → N 56.824933°
W 12.864990°		 →
↑
668.57 m
↓
↑
668.57 m
↓
N 56.818920°
W 12.875977°		 ← 668.59 m →
446 963 m²		 N 56.818920°
W 12.864990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464248657226562 y=0.307266235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464248657226562 × 215)
    floor (0.464248657226562 × 32768)
    floor (15212.5)     		tx = 15212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307266235351562 × 215)
    floor (0.307266235351562 × 32768)
    floor (10068.5)     		ty = 10068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15212 / 10068 ti = "15/15212/10068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15212/10068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15212 ÷ 215
    15212 ÷ 32768     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10068 ÷ 215
    10068 ÷ 32768     		y = 0.3072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3072509765625 × 2 - 1) × π
    0.385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2110778320011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2110778320011))-π/2
    2×atan(3.35710109423091)-π/2
    2×1.28128925124753-π/2
    2.56257850249507-1.57079632675     		φ = 0.99178218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99178218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.824933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15212 KachelY 10068 -0.22472819 0.99178218 -12.875977 56.824933
    Oben rechts KachelX + 1 15213 KachelY 10068 -0.22453644 0.99178218 -12.864990 56.824933
    Unten links KachelX 15212 KachelY + 1 10069 -0.22472819 0.99167724 -12.875977 56.818920
    Unten rechts KachelX + 1 15213 KachelY + 1 10069 -0.22453644 0.99167724 -12.864990 56.818920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99178218-0.99167724) × R
    0.000104939999999942 × 6371000     		dl = 668.572739999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99178218-0.99167724) × R
    0.000104939999999942 × 6371000     		dr = 668.572739999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(0.99178218) × R
    0.000191749999999991 × 0.547199041227079 × 6371000     		do = 668.479826325335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22453644) × cos(0.99167724) × R
    0.000191749999999991 × 0.547286873257802 × 6371000     		du = 668.587125381473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99178218)-sin(0.99167724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547199041227079-0.547286873257802)×R²
    abs(-0.22453644--0.22472819)×8.7832030722157e-05×R²
    0.000191749999999991×8.7832030722157e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.7832030722157e-05×40589641000000     		ar = 446963.258142251m²