Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15211 / 8139
↖ ↑ ↗
← N 66.744240°
W 12.886963°		 ← 482.32 m → N 66.744240°
W 12.875977°		 →
↑
482.35 m
↓
↑
482.35 m
↓
N 66.739902°
W 12.886963°		 ← 482.41 m →
232 668 m²		 N 66.739902°
W 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464218139648438 y=0.248397827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464218139648438 × 215)
    floor (0.464218139648438 × 32768)
    floor (15211.5)     		tx = 15211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248397827148438 × 215)
    floor (0.248397827148438 × 32768)
    floor (8139.5)     		ty = 8139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15211 / 8139 ti = "15/15211/8139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15211/8139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15211 ÷ 215
    15211 ÷ 32768     		x = 0.464202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8139 ÷ 215
    8139 ÷ 32768     		y = 0.248382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.07159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22491993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248382568359375 × 2 - 1) × π
    0.50323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58095894946945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22491993} λ = -0.22491993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58095894946945))-π/2
    2×atan(4.8596137015206)-π/2
    2×1.36785153470159-π/2
    2.73570306940317-1.57079632675     		φ = 1.16490674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22491993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.886963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16490674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.744240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15211 KachelY 8139 -0.22491993 1.16490674 -12.886963 66.744240
    Oben rechts KachelX + 1 15212 KachelY 8139 -0.22472819 1.16490674 -12.875977 66.744240
    Unten links KachelX 15211 KachelY + 1 8140 -0.22491993 1.16483103 -12.886963 66.739902
    Unten rechts KachelX + 1 15212 KachelY + 1 8140 -0.22472819 1.16483103 -12.875977 66.739902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16490674-1.16483103) × R
    7.57099999999511e-05 × 6371000     		dl = 482.348409999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16490674-1.16483103) × R
    7.57099999999511e-05 × 6371000     		dr = 482.348409999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22491993--0.22472819) × cos(1.16490674) × R
    0.000191739999999996 × 0.394836225712366 × 6371000     		do = 482.322275636134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22491993--0.22472819) × cos(1.16483103) × R
    0.000191739999999996 × 0.394905783258251 × 6371000     		du = 482.40724543281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16490674)-sin(1.16483103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394836225712366-0.394905783258251)×R²
    abs(-0.22472819--0.22491993)×6.95575458850572e-05×R²
    0.000191739999999996×6.95575458850572e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.95575458850572e-05×40589641000000     		ar = 232667.875395111m²