Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15211 / 20881
↖ ↑ ↗
← S 44.221584°
W 12.886963°		 ← 875.44 m → S 44.221584°
W 12.875977°		 →
↑
875.38 m
↓
↑
875.38 m
↓
S 44.229456°
W 12.886963°		 ← 875.32 m →
766 287 m²		 S 44.229456°
W 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464218139648438 y=0.637252807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464218139648438 × 215)
    floor (0.464218139648438 × 32768)
    floor (15211.5)     		tx = 15211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637252807617188 × 215)
    floor (0.637252807617188 × 32768)
    floor (20881.5)     		ty = 20881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15211 / 20881 ti = "15/15211/20881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15211/20881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15211 ÷ 215
    15211 ÷ 32768     		x = 0.464202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20881 ÷ 215
    20881 ÷ 32768     		y = 0.637237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.07159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22491993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.27447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86228895036557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22491993} λ = -0.22491993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86228895036557))-π/2
    2×atan(0.422194593004654)-π/2
    2×0.399492044829423-π/2
    0.798984089658846-1.57079632675     		φ = -0.77181224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22491993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.886963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77181224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.221584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15211 KachelY 20881 -0.22491993 -0.77181224 -12.886963 -44.221584
    Oben rechts KachelX + 1 15212 KachelY 20881 -0.22472819 -0.77181224 -12.875977 -44.221584
    Unten links KachelX 15211 KachelY + 1 20882 -0.22491993 -0.77194964 -12.886963 -44.229456
    Unten rechts KachelX + 1 15212 KachelY + 1 20882 -0.22472819 -0.77194964 -12.875977 -44.229456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77181224--0.77194964) × R
    0.000137399999999954 × 6371000     		dl = 875.375399999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77181224--0.77194964) × R
    0.000137399999999954 × 6371000     		dr = 875.375399999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22491993--0.22472819) × cos(-0.77181224) × R
    0.000191739999999996 × 0.716647927290886 × 6371000     		do = 875.439578770226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22491993--0.22472819) × cos(-0.77194964) × R
    0.000191739999999996 × 0.71655209294082 × 6371000     		du = 875.322509872294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77181224)-sin(-0.77194964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716647927290886-0.71655209294082)×R²
    abs(-0.22472819--0.22491993)×9.58343500661041e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58343500661041e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58343500661041e-05×40589641000000     		ar = 766287.03303097m²