Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15210 / 8450
↖ ↑ ↗
← N 65.357677°
W 12.897949°		 ← 509.37 m → N 65.357677°
W 12.886963°		 →
↑
509.36 m
↓
↑
509.36 m
↓
N 65.353096°
W 12.897949°		 ← 509.45 m →
259 474 m²		 N 65.353096°
W 12.886963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464187622070312 y=0.257888793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464187622070312 × 215)
    floor (0.464187622070312 × 32768)
    floor (15210.5)     		tx = 15210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257888793945312 × 215)
    floor (0.257888793945312 × 32768)
    floor (8450.5)     		ty = 8450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15210 / 8450 ti = "15/15210/8450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15210/8450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15210 ÷ 215
    15210 ÷ 32768     		x = 0.46417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8450 ÷ 215
    8450 ÷ 32768     		y = 0.25787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25787353515625 × 2 - 1) × π
    0.4842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5213254463421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22511168} λ = -0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5213254463421))-π/2
    2×atan(4.57828945233828)-π/2
    2×1.35575149040899-π/2
    2.71150298081797-1.57079632675     		φ = 1.14070665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14070665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.357677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15210 KachelY 8450 -0.22511168 1.14070665 -12.897949 65.357677
    Oben rechts KachelX + 1 15211 KachelY 8450 -0.22491993 1.14070665 -12.886963 65.357677
    Unten links KachelX 15210 KachelY + 1 8451 -0.22511168 1.14062670 -12.897949 65.353096
    Unten rechts KachelX + 1 15211 KachelY + 1 8451 -0.22491993 1.14062670 -12.886963 65.353096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14070665-1.14062670) × R
    7.99499999999398e-05 × 6371000     		dl = 509.361449999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14070665-1.14062670) × R
    7.99499999999398e-05 × 6371000     		dr = 509.361449999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22511168--0.22491993) × cos(1.14070665) × R
    0.000191750000000018 × 0.416952313887981 × 6371000     		do = 509.365312023926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22511168--0.22491993) × cos(1.14062670) × R
    0.000191750000000018 × 0.417024981377896 × 6371000     		du = 509.454085481805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14070665)-sin(1.14062670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416952313887981-0.417024981377896)×R²
    abs(-0.22491993--0.22511168)×7.26674899149127e-05×R²
    0.000191750000000018×7.26674899149127e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.26674899149127e-05×40589641000000     		ar = 259473.662938405m²