Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15210 / 3432
↖ ↑ ↗
← N 71.691293°
E154.204101°		 ← 767.52 m → N 71.691293°
E154.226074°		 →
↑
767.64 m
↓
↑
767.64 m
↓
N 71.684389°
E154.204101°		 ← 767.80 m →
589 290 m²		 N 71.684389°
E154.226074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.928375244140625 y=0.209503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.928375244140625 × 214)
    floor (0.928375244140625 × 16384)
    floor (15210.5)     		tx = 15210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209503173828125 × 214)
    floor (0.209503173828125 × 16384)
    floor (3432.5)     		ty = 3432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15210 / 3432 ti = "14/15210/3432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15210/3432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15210 ÷ 214
    15210 ÷ 16384     		x = 0.9283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3432 ÷ 214
    3432 ÷ 16384     		y = 0.20947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9283447265625 × 2 - 1) × π
    0.856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.69136929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20947265625 × 2 - 1) × π
    0.5810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.69136929} λ = 2.69136929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82543713753174))-π/2
    2×atan(6.2055070863394)-π/2
    2×1.41102271486491-π/2
    2.82204542972981-1.57079632675     		φ = 1.25124910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.69136929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25124910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.691293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15210 KachelY 3432 2.69136929 1.25124910 154.204101 71.691293
    Oben rechts KachelX + 1 15211 KachelY 3432 2.69175279 1.25124910 154.226074 71.691293
    Unten links KachelX 15210 KachelY + 1 3433 2.69136929 1.25112861 154.204101 71.684389
    Unten rechts KachelX + 1 15211 KachelY + 1 3433 2.69175279 1.25112861 154.226074 71.684389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25124910-1.25112861) × R
    0.000120489999999807 × 6371000     		dl = 767.641789998768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25124910-1.25112861) × R
    0.000120489999999807 × 6371000     		dr = 767.641789998768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.69136929-2.69175279) × cos(1.25124910) × R
    0.00038349999999987 × 0.314136740024525 × 6371000     		do = 767.523542961752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.69136929-2.69175279) × cos(1.25112861) × R
    0.00038349999999987 × 0.314251128268822 × 6371000     		du = 767.803025299695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25124910)-sin(1.25112861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314136740024525-0.314251128268822)×R²
    abs(2.69175279-2.69136929)×0.000114388244296826×R²
    0.00038349999999987×0.000114388244296826×6371000²
    0.00038349999999987×0.000114388244296826×40589641000000     		ar = 589290.418259647m²