Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15210 / 10247
↖ ↑ ↗
← N 55.733296°
W 12.897949°		 ← 687.84 m → N 55.733296°
W 12.886963°		 →
↑
687.88 m
↓
↑
687.88 m
↓
N 55.727110°
W 12.897949°		 ← 687.95 m →
473 186 m²		 N 55.727110°
W 12.886963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464187622070312 y=0.312728881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464187622070312 × 215)
    floor (0.464187622070312 × 32768)
    floor (15210.5)     		tx = 15210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312728881835938 × 215)
    floor (0.312728881835938 × 32768)
    floor (10247.5)     		ty = 10247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15210 / 10247 ti = "15/15210/10247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15210/10247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15210 ÷ 215
    15210 ÷ 32768     		x = 0.46417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10247 ÷ 215
    10247 ÷ 32768     		y = 0.312713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312713623046875 × 2 - 1) × π
    0.37457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17675501187314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22511168} λ = -0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17675501187314))-π/2
    2×atan(3.24383091291801)-π/2
    2×1.27176292581574-π/2
    2.54352585163148-1.57079632675     		φ = 0.97272952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97272952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.733296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15210 KachelY 10247 -0.22511168 0.97272952 -12.897949 55.733296
    Oben rechts KachelX + 1 15211 KachelY 10247 -0.22491993 0.97272952 -12.886963 55.733296
    Unten links KachelX 15210 KachelY + 1 10248 -0.22511168 0.97262155 -12.897949 55.727110
    Unten rechts KachelX + 1 15211 KachelY + 1 10248 -0.22491993 0.97262155 -12.886963 55.727110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97272952-0.97262155) × R
    0.000107970000000068 × 6371000     		dl = 687.876870000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97272952-0.97262155) × R
    0.000107970000000068 × 6371000     		dr = 687.876870000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22511168--0.22491993) × cos(0.97272952) × R
    0.000191750000000018 × 0.563045886085424 × 6371000     		do = 687.838953993049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22511168--0.22491993) × cos(0.97262155) × R
    0.000191750000000018 × 0.563135111979201 × 6371000     		du = 687.947955847002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97272952)-sin(0.97262155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563045886085424-0.563135111979201)×R²
    abs(-0.22491993--0.22511168)×8.92258937765789e-05×R²
    0.000191750000000018×8.92258937765789e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.92258937765789e-05×40589641000000     		ar = 473185.997123791m²