Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1521 / 2531
↖ ↑ ↗
← S 39.027719°
W 46.318360°		 ← 7 592.11 m → S 39.027719°
W 46.230468°		 →
↑
7 588.43 m
↓
↑
7 588.43 m
↓
S 39.095963°
W 46.318360°		 ← 7 584.77 m →
57 584 405 m²		 S 39.095963°
W 46.230468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3714599609375 y=0.6180419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3714599609375 × 212)
    floor (0.3714599609375 × 4096)
    floor (1521.5)     		tx = 1521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6180419921875 × 212)
    floor (0.6180419921875 × 4096)
    floor (2531.5)     		ty = 2531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1521 / 2531 ti = "12/1521/2531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1521/2531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1521 ÷ 212
    1521 ÷ 4096     		x = 0.371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2531 ÷ 212
    2531 ÷ 4096     		y = 0.617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.23583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740912720527588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80840788} λ = -0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740912720527588))-π/2
    2×atan(0.476678642527856)-π/2
    2×0.444817066753516-π/2
    0.889634133507032-1.57079632675     		φ = -0.68116219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68116219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.027719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1521 KachelY 2531 -0.80840788 -0.68116219 -46.318360 -39.027719
    Oben rechts KachelX + 1 1522 KachelY 2531 -0.80687389 -0.68116219 -46.230468 -39.027719
    Unten links KachelX 1521 KachelY + 1 2532 -0.80840788 -0.68235328 -46.318360 -39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 1522 KachelY + 1 2532 -0.80687389 -0.68235328 -46.230468 -39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68116219--0.68235328) × R
    0.00119108999999995 × 6371000     		dl = 7588.43438999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68116219--0.68235328) × R
    0.00119108999999995 × 6371000     		dr = 7588.43438999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80840788--0.80687389) × cos(-0.68116219) × R
    0.00153398999999999 × 0.776841416822776 × 6371000     		do = 7592.11023396377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80840788--0.80687389) × cos(-0.68235328) × R
    0.00153398999999999 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 7584.77481869883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68116219)-sin(-0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776841416822776-0.776090840999745)×R²
    abs(-0.80687389--0.80840788)×0.000750575823030508×R²
    0.00153398999999999×0.000750575823030508×6371000²
    0.00153398999999999×0.000750575823030508×40589641000000     		ar = 57584405.0412391m²