Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15209 / 8437
↖ ↑ ↗
← N 65.417159°
W 12.908936°		 ← 508.21 m → N 65.417159°
W 12.897949°		 →
↑
508.21 m
↓
↑
508.21 m
↓
N 65.412589°
W 12.908936°		 ← 508.30 m →
258 303 m²		 N 65.412589°
W 12.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464157104492188 y=0.257492065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464157104492188 × 215)
    floor (0.464157104492188 × 32768)
    floor (15209.5)     		tx = 15209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257492065429688 × 215)
    floor (0.257492065429688 × 32768)
    floor (8437.5)     		ty = 8437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15209 / 8437 ti = "15/15209/8437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15209/8437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15209 ÷ 215
    15209 ÷ 32768     		x = 0.464141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8437 ÷ 215
    8437 ÷ 32768     		y = 0.257476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.07171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22530343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257476806640625 × 2 - 1) × π
    0.48504638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52381816512235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22530343} λ = -0.22530343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52381816512235))-π/2
    2×atan(4.58971607620071)-π/2
    2×1.35627057447551-π/2
    2.71254114895101-1.57079632675     		φ = 1.14174482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22530343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14174482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.417159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15209 KachelY 8437 -0.22530343 1.14174482 -12.908936 65.417159
    Oben rechts KachelX + 1 15210 KachelY 8437 -0.22511168 1.14174482 -12.897949 65.417159
    Unten links KachelX 15209 KachelY + 1 8438 -0.22530343 1.14166505 -12.908936 65.412589
    Unten rechts KachelX + 1 15210 KachelY + 1 8438 -0.22511168 1.14166505 -12.897949 65.412589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14174482-1.14166505) × R
    7.97699999999235e-05 × 6371000     		dl = 508.214669999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14174482-1.14166505) × R
    7.97699999999235e-05 × 6371000     		dr = 508.214669999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22530343--0.22511168) × cos(1.14174482) × R
    0.000191749999999991 × 0.416008467204566 × 6371000     		do = 508.21227186941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22530343--0.22511168) × cos(1.14166505) × R
    0.000191749999999991 × 0.416081005587125 × 6371000     		du = 508.300887604676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14174482)-sin(1.14166505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416008467204566-0.416081005587125)×R²
    abs(-0.22511168--0.22530343)×7.25383825587733e-05×R²
    0.000191749999999991×7.25383825587733e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.25383825587733e-05×40589641000000     		ar = 258303.450083628m²