Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15209 / 10201
↖ ↑ ↗
← N 56.016808°
W 12.908936°		 ← 682.83 m → N 56.016808°
W 12.897949°		 →
↑
682.84 m
↓
↑
682.84 m
↓
N 56.010667°
W 12.908936°		 ← 682.94 m →
466 307 m²		 N 56.010667°
W 12.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464157104492188 y=0.311325073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464157104492188 × 215)
    floor (0.464157104492188 × 32768)
    floor (15209.5)     		tx = 15209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311325073242188 × 215)
    floor (0.311325073242188 × 32768)
    floor (10201.5)     		ty = 10201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15209 / 10201 ti = "15/15209/10201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15209/10201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15209 ÷ 215
    15209 ÷ 32768     		x = 0.464141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10201 ÷ 215
    10201 ÷ 32768     		y = 0.311309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.07171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22530343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311309814453125 × 2 - 1) × π
    0.37738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18557540140323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22530343} λ = -0.22530343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18557540140323))-π/2
    2×atan(3.27256932079698)-π/2
    2×1.27423702935029-π/2
    2.54847405870057-1.57079632675     		φ = 0.97767773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22530343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97767773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.016808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15209 KachelY 10201 -0.22530343 0.97767773 -12.908936 56.016808
    Oben rechts KachelX + 1 15210 KachelY 10201 -0.22511168 0.97767773 -12.897949 56.016808
    Unten links KachelX 15209 KachelY + 1 10202 -0.22530343 0.97757055 -12.908936 56.010667
    Unten rechts KachelX + 1 15210 KachelY + 1 10202 -0.22511168 0.97757055 -12.897949 56.010667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97767773-0.97757055) × R
    0.000107179999999985 × 6371000     		dl = 682.843779999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97767773-0.97757055) × R
    0.000107179999999985 × 6371000     		dr = 682.843779999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22530343--0.22511168) × cos(0.97767773) × R
    0.000191749999999991 × 0.558949682167943 × 6371000     		do = 682.834870511351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22530343--0.22511168) × cos(0.97757055) × R
    0.000191749999999991 × 0.559038552782153 × 6371000     		du = 682.943438341841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97767773)-sin(0.97757055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558949682167943-0.559038552782153)×R²
    abs(-0.22511168--0.22530343)×8.88706142095907e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88706142095907e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88706142095907e-05×40589641000000     		ar = 466306.611975909m²