Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15208 / 8337
↖ ↑ ↗
← N 65.870234°
W 12.919922°		 ← 499.41 m → N 65.870234°
W 12.908936°		 →
↑
499.49 m
↓
↑
499.49 m
↓
N 65.865742°
W 12.919922°		 ← 499.50 m →
249 471 m²		 N 65.865742°
W 12.908936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464126586914062 y=0.254440307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464126586914062 × 215)
    floor (0.464126586914062 × 32768)
    floor (15208.5)     		tx = 15208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254440307617188 × 215)
    floor (0.254440307617188 × 32768)
    floor (8337.5)     		ty = 8337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15208 / 8337 ti = "15/15208/8337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15208/8337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15208 ÷ 215
    15208 ÷ 32768     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8337 ÷ 215
    8337 ÷ 32768     		y = 0.254425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254425048828125 × 2 - 1) × π
    0.49114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54299292497037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54299292497037))-π/2
    2×atan(4.67857195231142)-π/2
    2×1.36022439284039-π/2
    2.72044878568079-1.57079632675     		φ = 1.14965246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14965246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.870234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15208 KachelY 8337 -0.22549518 1.14965246 -12.919922 65.870234
    Oben rechts KachelX + 1 15209 KachelY 8337 -0.22530343 1.14965246 -12.908936 65.870234
    Unten links KachelX 15208 KachelY + 1 8338 -0.22549518 1.14957406 -12.919922 65.865742
    Unten rechts KachelX + 1 15209 KachelY + 1 8338 -0.22530343 1.14957406 -12.908936 65.865742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14965246-1.14957406) × R
    7.8400000000034e-05 × 6371000     		dl = 499.486400000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14965246-1.14957406) × R
    7.8400000000034e-05 × 6371000     		dr = 499.486400000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22530343) × cos(1.14965246) × R
    0.000191749999999991 × 0.408804638188186 × 6371000     		do = 499.411791592712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22530343) × cos(1.14957406) × R
    0.000191749999999991 × 0.408876186490223 × 6371000     		du = 499.499197806752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14965246)-sin(1.14957406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408804638188186-0.408876186490223)×R²
    abs(-0.22530343--0.22549518)×7.1548302037705e-05×R²
    0.000191749999999991×7.1548302037705e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.1548302037705e-05×40589641000000     		ar = 249471.227135979m²