Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15208 / 10093
↖ ↑ ↗
← N 56.674339°
W 12.919922°		 ← 671.17 m → N 56.674339°
W 12.908936°		 →
↑
671.25 m
↓
↑
671.25 m
↓
N 56.668302°
W 12.919922°		 ← 671.27 m →
450 555 m²		 N 56.668302°
W 12.908936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464126586914062 y=0.308029174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464126586914062 × 215)
    floor (0.464126586914062 × 32768)
    floor (15208.5)     		tx = 15208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308029174804688 × 215)
    floor (0.308029174804688 × 32768)
    floor (10093.5)     		ty = 10093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15208 / 10093 ti = "15/15208/10093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15208/10093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15208 ÷ 215
    15208 ÷ 32768     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10093 ÷ 215
    10093 ÷ 32768     		y = 0.308013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308013916015625 × 2 - 1) × π
    0.38397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20628414203909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20628414203909))-π/2
    2×atan(3.34104670304443)-π/2
    2×1.27997506676372-π/2
    2.55995013352743-1.57079632675     		φ = 0.98915381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98915381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.674339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15208 KachelY 10093 -0.22549518 0.98915381 -12.919922 56.674339
    Oben rechts KachelX + 1 15209 KachelY 10093 -0.22530343 0.98915381 -12.908936 56.674339
    Unten links KachelX 15208 KachelY + 1 10094 -0.22549518 0.98904845 -12.919922 56.668302
    Unten rechts KachelX + 1 15209 KachelY + 1 10094 -0.22530343 0.98904845 -12.908936 56.668302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98915381-0.98904845) × R
    0.000105360000000054 × 6371000     		dl = 671.248560000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98915381-0.98904845) × R
    0.000105360000000054 × 6371000     		dr = 671.248560000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22530343) × cos(0.98915381) × R
    0.000191749999999991 × 0.549397100878744 × 6371000     		do = 671.16506226965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22530343) × cos(0.98904845) × R
    0.000191749999999991 × 0.549485132576589 × 6371000     		du = 671.272605246981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98915381)-sin(0.98904845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549397100878744-0.549485132576589)×R²
    abs(-0.22530343--0.22549518)×8.80316978452145e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80316978452145e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80316978452145e-05×40589641000000     		ar = 450554.676022439m²