Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15207 / 8446
↖ ↑ ↗
← N 65.375994°
W 12.930908°		 ← 508.98 m → N 65.375994°
W 12.919922°		 →
↑
509.04 m
↓
↑
509.04 m
↓
N 65.371416°
W 12.930908°		 ← 509.07 m →
259 117 m²		 N 65.371416°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464096069335938 y=0.257766723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464096069335938 × 215)
    floor (0.464096069335938 × 32768)
    floor (15207.5)     		tx = 15207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257766723632812 × 215)
    floor (0.257766723632812 × 32768)
    floor (8446.5)     		ty = 8446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15207 / 8446 ti = "15/15207/8446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15207/8446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15207 ÷ 215
    15207 ÷ 32768     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8446 ÷ 215
    8446 ÷ 32768     		y = 0.25775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25775146484375 × 2 - 1) × π
    0.4844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52209243673602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52209243673602))-π/2
    2×atan(4.58180230335809)-π/2
    2×1.35591133389154-π/2
    2.71182266778307-1.57079632675     		φ = 1.14102634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14102634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.375994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15207 KachelY 8446 -0.22568692 1.14102634 -12.930908 65.375994
    Oben rechts KachelX + 1 15208 KachelY 8446 -0.22549518 1.14102634 -12.919922 65.375994
    Unten links KachelX 15207 KachelY + 1 8447 -0.22568692 1.14094644 -12.930908 65.371416
    Unten rechts KachelX + 1 15208 KachelY + 1 8447 -0.22549518 1.14094644 -12.919922 65.371416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14102634-1.14094644) × R
    7.99000000000216e-05 × 6371000     		dl = 509.042900000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14102634-1.14094644) × R
    7.99000000000216e-05 × 6371000     		dr = 509.042900000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22549518) × cos(1.14102634) × R
    0.000191740000000024 × 0.416661717278144 × 6371000     		do = 508.983762281438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22549518) × cos(1.14094644) × R
    0.000191740000000024 × 0.416734349970832 × 6371000     		du = 509.072488602231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14102634)-sin(1.14094644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416661717278144-0.416734349970832)×R²
    abs(-0.22549518--0.22568692)×7.26326926888121e-05×R²
    0.000191740000000024×7.26326926888121e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.26326926888121e-05×40589641000000     		ar = 259117.153294403m²