Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15207 / 8189
↖ ↑ ↗
← N 66.526393°
W 12.930908°		 ← 486.59 m → N 66.526393°
W 12.919922°		 →
↑
486.68 m
↓
↑
486.68 m
↓
N 66.522016°
W 12.930908°		 ← 486.67 m →
236 833 m²		 N 66.522016°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464096069335938 y=0.249923706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464096069335938 × 215)
    floor (0.464096069335938 × 32768)
    floor (15207.5)     		tx = 15207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249923706054688 × 215)
    floor (0.249923706054688 × 32768)
    floor (8189.5)     		ty = 8189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15207 / 8189 ti = "15/15207/8189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15207/8189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15207 ÷ 215
    15207 ÷ 32768     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8189 ÷ 215
    8189 ÷ 32768     		y = 0.249908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249908447265625 × 2 - 1) × π
    0.50018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57137156954544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57137156954544))-π/2
    2×atan(4.81324536926168)-π/2
    2×1.36595045635515-π/2
    2.73190091271029-1.57079632675     		φ = 1.16110459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16110459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.526393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15207 KachelY 8189 -0.22568692 1.16110459 -12.930908 66.526393
    Oben rechts KachelX + 1 15208 KachelY 8189 -0.22549518 1.16110459 -12.919922 66.526393
    Unten links KachelX 15207 KachelY + 1 8190 -0.22568692 1.16102820 -12.930908 66.522016
    Unten rechts KachelX + 1 15208 KachelY + 1 8190 -0.22549518 1.16102820 -12.919922 66.522016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16110459-1.16102820) × R
    7.63900000000373e-05 × 6371000     		dl = 486.680690000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16110459-1.16102820) × R
    7.63900000000373e-05 × 6371000     		dr = 486.680690000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22549518) × cos(1.16110459) × R
    0.000191740000000024 × 0.398326594445426 × 6371000     		do = 486.586024706093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22549518) × cos(1.16102820) × R
    0.000191740000000024 × 0.398396661526023 × 6371000     		du = 486.671616937909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16110459)-sin(1.16102820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398326594445426-0.398396661526023)×R²
    abs(-0.22549518--0.22568692)×7.00670805967585e-05×R²
    0.000191740000000024×7.00670805967585e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.00670805967585e-05×40589641000000     		ar = 236832.850406551m²