Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15206 / 8133
↖ ↑ ↗
← N 66.770253°
W 12.941894°		 ← 481.84 m → N 66.770253°
W 12.930908°		 →
↑
481.90 m
↓
↑
481.90 m
↓
N 66.765919°
W 12.941894°		 ← 481.92 m →
232 219 m²		 N 66.765919°
W 12.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464065551757812 y=0.248214721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464065551757812 × 215)
    floor (0.464065551757812 × 32768)
    floor (15206.5)     		tx = 15206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248214721679688 × 215)
    floor (0.248214721679688 × 32768)
    floor (8133.5)     		ty = 8133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15206 / 8133 ti = "15/15206/8133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15206/8133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15206 ÷ 215
    15206 ÷ 32768     		x = 0.46405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8133 ÷ 215
    8133 ÷ 32768     		y = 0.248199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248199462890625 × 2 - 1) × π
    0.50360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58210943506033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22587867} λ = -0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58210943506033))-π/2
    2×atan(4.86520783442906)-π/2
    2×1.36807854139127-π/2
    2.73615708278254-1.57079632675     		φ = 1.16536076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16536076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.770253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15206 KachelY 8133 -0.22587867 1.16536076 -12.941894 66.770253
    Oben rechts KachelX + 1 15207 KachelY 8133 -0.22568692 1.16536076 -12.930908 66.770253
    Unten links KachelX 15206 KachelY + 1 8134 -0.22587867 1.16528512 -12.941894 66.765919
    Unten rechts KachelX + 1 15207 KachelY + 1 8134 -0.22568692 1.16528512 -12.930908 66.765919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16536076-1.16528512) × R
    7.56399999999324e-05 × 6371000     		dl = 481.902439999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16536076-1.16528512) × R
    7.56399999999324e-05 × 6371000     		dr = 481.902439999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22587867--0.22568692) × cos(1.16536076) × R
    0.000191749999999991 × 0.394419053467127 × 6371000     		do = 481.837796663267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22587867--0.22568692) × cos(1.16528512) × R
    0.000191749999999991 × 0.394488560256022 × 6371000     		du = 481.922708884723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16536076)-sin(1.16528512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394419053467127-0.394488560256022)×R²
    abs(-0.22568692--0.22587867)×6.95067888951129e-05×R²
    0.000191749999999991×6.95067888951129e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.95067888951129e-05×40589641000000     		ar = 232219.269710189m²