Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15206 / 8101
↖ ↑ ↗
← N 66.908526°
W 12.941894°		 ← 479.13 m → N 66.908526°
W 12.930908°		 →
↑
479.16 m
↓
↑
479.16 m
↓
N 66.904216°
W 12.941894°		 ← 479.21 m →
229 600 m²		 N 66.904216°
W 12.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464065551757812 y=0.247238159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464065551757812 × 215)
    floor (0.464065551757812 × 32768)
    floor (15206.5)     		tx = 15206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247238159179688 × 215)
    floor (0.247238159179688 × 32768)
    floor (8101.5)     		ty = 8101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15206 / 8101 ti = "15/15206/8101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15206/8101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15206 ÷ 215
    15206 ÷ 32768     		x = 0.46405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8101 ÷ 215
    8101 ÷ 32768     		y = 0.247222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247222900390625 × 2 - 1) × π
    0.50555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5882453582117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22587867} λ = -0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5882453582117))-π/2
    2×atan(4.89515214987663)-π/2
    2×1.36928519767169-π/2
    2.73857039534337-1.57079632675     		φ = 1.16777407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16777407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.908526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15206 KachelY 8101 -0.22587867 1.16777407 -12.941894 66.908526
    Oben rechts KachelX + 1 15207 KachelY 8101 -0.22568692 1.16777407 -12.930908 66.908526
    Unten links KachelX 15206 KachelY + 1 8102 -0.22587867 1.16769886 -12.941894 66.904216
    Unten rechts KachelX + 1 15207 KachelY + 1 8102 -0.22568692 1.16769886 -12.930908 66.904216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16777407-1.16769886) × R
    7.52100000001032e-05 × 6371000     		dl = 479.162910000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16777407-1.16769886) × R
    7.52100000001032e-05 × 6371000     		dr = 479.162910000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22587867--0.22568692) × cos(1.16777407) × R
    0.000191749999999991 × 0.392200242439331 × 6371000     		do = 479.127210023378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22587867--0.22568692) × cos(1.16769886) × R
    0.000191749999999991 × 0.392269425494818 × 6371000     		du = 479.211726759397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16777407)-sin(1.16769886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392200242439331-0.392269425494818)×R²
    abs(-0.22568692--0.22587867)×6.91830554878092e-05×R²
    0.000191749999999991×6.91830554878092e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.91830554878092e-05×40589641000000     		ar = 229600.23696536m²