Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15205 / 8335
↖ ↑ ↗
← N 65.879215°
W 12.952881°		 ← 499.24 m → N 65.879215°
W 12.941894°		 →
↑
499.30 m
↓
↑
499.30 m
↓
N 65.874725°
W 12.952881°		 ← 499.32 m →
249 288 m²		 N 65.874725°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464035034179688 y=0.254379272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464035034179688 × 215)
    floor (0.464035034179688 × 32768)
    floor (15205.5)     		tx = 15205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254379272460938 × 215)
    floor (0.254379272460938 × 32768)
    floor (8335.5)     		ty = 8335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15205 / 8335 ti = "15/15205/8335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15205/8335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15205 ÷ 215
    15205 ÷ 32768     		x = 0.464019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8335 ÷ 215
    8335 ÷ 32768     		y = 0.254364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254364013671875 × 2 - 1) × π
    0.49127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54337642016733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22607042} λ = -0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54337642016733))-π/2
    2×atan(4.68036650626318)-π/2
    2×1.36030276643225-π/2
    2.7206055328645-1.57079632675     		φ = 1.14980921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14980921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.879215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15205 KachelY 8335 -0.22607042 1.14980921 -12.952881 65.879215
    Oben rechts KachelX + 1 15206 KachelY 8335 -0.22587867 1.14980921 -12.941894 65.879215
    Unten links KachelX 15205 KachelY + 1 8336 -0.22607042 1.14973084 -12.952881 65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 15206 KachelY + 1 8336 -0.22587867 1.14973084 -12.941894 65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14980921-1.14973084) × R
    7.83699999999943e-05 × 6371000     		dl = 499.295269999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14980921-1.14973084) × R
    7.83699999999943e-05 × 6371000     		dr = 499.295269999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22607042--0.22587867) × cos(1.14980921) × R
    0.000191749999999991 × 0.408661579680623 × 6371000     		do = 499.237025704827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22607042--0.22587867) × cos(1.14973084) × R
    0.000191749999999991 × 0.408733105626485 × 6371000     		du = 499.324404607685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14980921)-sin(1.14973084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408661579680623-0.408733105626485)×R²
    abs(-0.22587867--0.22607042)×7.15259458616835e-05×R²
    0.000191749999999991×7.15259458616835e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.15259458616835e-05×40589641000000     		ar = 249288.499606904m²