Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15205 / 20873
↖ ↑ ↗
← S 44.158563°
W 12.952881°		 ← 876.42 m → S 44.158563°
W 12.941894°		 →
↑
876.39 m
↓
↑
876.39 m
↓
S 44.166445°
W 12.952881°		 ← 876.30 m →
768 040 m²		 S 44.166445°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464035034179688 y=0.637008666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464035034179688 × 215)
    floor (0.464035034179688 × 32768)
    floor (15205.5)     		tx = 15205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637008666992188 × 215)
    floor (0.637008666992188 × 32768)
    floor (20873.5)     		ty = 20873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15205 / 20873 ti = "15/15205/20873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15205/20873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15205 ÷ 215
    15205 ÷ 32768     		x = 0.464019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20873 ÷ 215
    20873 ÷ 32768     		y = 0.636993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.27398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.860754969577728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22607042} λ = -0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860754969577728))-π/2
    2×atan(0.422842728385571)-π/2
    2×0.40004200092959-π/2
    0.800084001859181-1.57079632675     		φ = -0.77071232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77071232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.158563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15205 KachelY 20873 -0.22607042 -0.77071232 -12.952881 -44.158563
    Oben rechts KachelX + 1 15206 KachelY 20873 -0.22587867 -0.77071232 -12.941894 -44.158563
    Unten links KachelX 15205 KachelY + 1 20874 -0.22607042 -0.77084988 -12.952881 -44.166445
    Unten rechts KachelX + 1 15206 KachelY + 1 20874 -0.22587867 -0.77084988 -12.941894 -44.166445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77071232--0.77084988) × R
    0.000137559999999981 × 6371000     		dl = 876.394759999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77071232--0.77084988) × R
    0.000137559999999981 × 6371000     		dr = 876.394759999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22607042--0.22587867) × cos(-0.77071232) × R
    0.000191749999999991 × 0.717414616465847 × 6371000     		do = 876.421853998332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22607042--0.22587867) × cos(-0.77084988) × R
    0.000191749999999991 × 0.717318778993569 × 6371000     		du = 876.304775180576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77071232)-sin(-0.77084988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717414616465847-0.717318778993569)×R²
    abs(-0.22587867--0.22607042)×9.58374722784816e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58374722784816e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58374722784816e-05×40589641000000     		ar = 768040.21797339m²