Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15205 / 10091
↖ ↑ ↗
← N 56.686408°
W 12.952881°		 ← 670.95 m → N 56.686408°
W 12.941894°		 →
↑
670.99 m
↓
↑
670.99 m
↓
N 56.680374°
W 12.952881°		 ← 671.06 m →
450 239 m²		 N 56.680374°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464035034179688 y=0.307968139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464035034179688 × 215)
    floor (0.464035034179688 × 32768)
    floor (15205.5)     		tx = 15205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307968139648438 × 215)
    floor (0.307968139648438 × 32768)
    floor (10091.5)     		ty = 10091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15205 / 10091 ti = "15/15205/10091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15205/10091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15205 ÷ 215
    15205 ÷ 32768     		x = 0.464019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10091 ÷ 215
    10091 ÷ 32768     		y = 0.307952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307952880859375 × 2 - 1) × π
    0.38409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20666763723605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22607042} λ = -0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20666763723605))-π/2
    2×atan(3.34232822412075)-π/2
    2×1.28008039546183-π/2
    2.56016079092366-1.57079632675     		φ = 0.98936446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98936446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.686408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15205 KachelY 10091 -0.22607042 0.98936446 -12.952881 56.686408
    Oben rechts KachelX + 1 15206 KachelY 10091 -0.22587867 0.98936446 -12.941894 56.686408
    Unten links KachelX 15205 KachelY + 1 10092 -0.22607042 0.98925914 -12.952881 56.680374
    Unten rechts KachelX + 1 15206 KachelY + 1 10092 -0.22587867 0.98925914 -12.941894 56.680374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98936446-0.98925914) × R
    0.000105319999999964 × 6371000     		dl = 670.993719999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98936446-0.98925914) × R
    0.000105319999999964 × 6371000     		dr = 670.993719999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22607042--0.22587867) × cos(0.98936446) × R
    0.000191749999999991 × 0.549221077685303 × 6371000     		do = 670.950025427632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22607042--0.22587867) × cos(0.98925914) × R
    0.000191749999999991 × 0.549309088150767 × 6371000     		du = 671.057542466654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98936446)-sin(0.98925914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549221077685303-0.549309088150767)×R²
    abs(-0.22587867--0.22607042)×8.80104654648051e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80104654648051e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80104654648051e-05×40589641000000     		ar = 450239.325540749m²