Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15204 / 8100
↖ ↑ ↗
← N 66.912834°
W 12.963867°		 ← 479.04 m → N 66.912834°
W 12.952881°		 →
↑
479.10 m
↓
↑
479.10 m
↓
N 66.908526°
W 12.963867°		 ← 479.13 m →
229 529 m²		 N 66.908526°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464004516601562 y=0.247207641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464004516601562 × 215)
    floor (0.464004516601562 × 32768)
    floor (15204.5)     		tx = 15204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247207641601562 × 215)
    floor (0.247207641601562 × 32768)
    floor (8100.5)     		ty = 8100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15204 / 8100 ti = "15/15204/8100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15204/8100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15204 ÷ 215
    15204 ÷ 32768     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8100 ÷ 215
    8100 ÷ 32768     		y = 0.2471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2471923828125 × 2 - 1) × π
    0.505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58843710581018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58843710581018))-π/2
    2×atan(4.89609087354169)-π/2
    2×1.36932279608309-π/2
    2.73864559216619-1.57079632675     		φ = 1.16784927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16784927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.912834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15204 KachelY 8100 -0.22626217 1.16784927 -12.963867 66.912834
    Oben rechts KachelX + 1 15205 KachelY 8100 -0.22607042 1.16784927 -12.952881 66.912834
    Unten links KachelX 15204 KachelY + 1 8101 -0.22626217 1.16777407 -12.963867 66.908526
    Unten rechts KachelX + 1 15205 KachelY + 1 8101 -0.22607042 1.16777407 -12.952881 66.908526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16784927-1.16777407) × R
    7.5199999999942e-05 × 6371000     		dl = 479.09919999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16784927-1.16777407) × R
    7.5199999999942e-05 × 6371000     		dr = 479.09919999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22607042) × cos(1.16784927) × R
    0.000191750000000018 × 0.392131066364439 × 6371000     		do = 479.042701815199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22607042) × cos(1.16777407) × R
    0.000191750000000018 × 0.392200242439331 × 6371000     		du = 479.127210023448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16784927)-sin(1.16777407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392131066364439-0.392200242439331)×R²
    abs(-0.22607042--0.22626217)×6.91760748920411e-05×R²
    0.000191750000000018×6.91760748920411e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.91760748920411e-05×40589641000000     		ar = 229529.219221178m²