Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15202 / 8102
↖ ↑ ↗
← N 66.904216°
W 12.985840°		 ← 479.21 m → N 66.904216°
W 12.974853°		 →
↑
479.23 m
↓
↑
479.23 m
↓
N 66.899907°
W 12.985840°		 ← 479.30 m →
229 671 m²		 N 66.899907°
W 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463943481445312 y=0.247268676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463943481445312 × 215)
    floor (0.463943481445312 × 32768)
    floor (15202.5)     		tx = 15202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247268676757812 × 215)
    floor (0.247268676757812 × 32768)
    floor (8102.5)     		ty = 8102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15202 / 8102 ti = "15/15202/8102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15202/8102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15202 ÷ 215
    15202 ÷ 32768     		x = 0.46392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8102 ÷ 215
    8102 ÷ 32768     		y = 0.24725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22664566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24725341796875 × 2 - 1) × π
    0.5054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58805361061322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22664566} λ = -0.22664566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58805361061322))-π/2
    2×atan(4.89421360619232)-π/2
    2×1.36924759262791-π/2
    2.73849518525581-1.57079632675     		φ = 1.16769886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22664566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16769886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.904216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15202 KachelY 8102 -0.22664566 1.16769886 -12.985840 66.904216
    Oben rechts KachelX + 1 15203 KachelY 8102 -0.22645391 1.16769886 -12.974853 66.904216
    Unten links KachelX 15202 KachelY + 1 8103 -0.22664566 1.16762364 -12.985840 66.899907
    Unten rechts KachelX + 1 15203 KachelY + 1 8103 -0.22645391 1.16762364 -12.974853 66.899907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16769886-1.16762364) × R
    7.52200000000425e-05 × 6371000     		dl = 479.226620000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16769886-1.16762364) × R
    7.52200000000425e-05 × 6371000     		dr = 479.226620000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22664566--0.22645391) × cos(1.16769886) × R
    0.000191749999999991 × 0.392269425494818 × 6371000     		do = 479.211726759397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22664566--0.22645391) × cos(1.16762364) × R
    0.000191749999999991 × 0.392338615529625 × 6371000     		du = 479.296252021626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16769886)-sin(1.16762364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392269425494818-0.392338615529625)×R²
    abs(-0.22645391--0.22664566)×6.91900348070429e-05×R²
    0.000191749999999991×6.91900348070429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.91900348070429e-05×40589641000000     		ar = 229671.269565937m²