Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15201 / 14079
↖ ↑ ↗
← N 24.537130°
W 12.996826°		 ← 1 111.32 m → N 24.537130°
W 12.985840°		 →
↑
1 111.36 m
↓
↑
1 111.36 m
↓
N 24.527135°
W 12.996826°		 ← 1 111.40 m →
1 235 118 m²		 N 24.527135°
W 12.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463912963867188 y=0.429672241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463912963867188 × 215)
    floor (0.463912963867188 × 32768)
    floor (15201.5)     		tx = 15201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429672241210938 × 215)
    floor (0.429672241210938 × 32768)
    floor (14079.5)     		ty = 14079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15201 / 14079 ti = "15/15201/14079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15201/14079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15201 ÷ 215
    15201 ÷ 32768     		x = 0.463897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14079 ÷ 215
    14079 ÷ 32768     		y = 0.429656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.07220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22683741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429656982421875 × 2 - 1) × π
    0.14068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441978214496918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22683741} λ = -0.22683741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441978214496918))-π/2
    2×atan(1.5557818465747)-π/2
    2×0.999525011892624-π/2
    1.99905002378525-1.57079632675     		φ = 0.42825370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22683741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42825370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.537130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15201 KachelY 14079 -0.22683741 0.42825370 -12.996826 24.537130
    Oben rechts KachelX + 1 15202 KachelY 14079 -0.22664566 0.42825370 -12.985840 24.537130
    Unten links KachelX 15201 KachelY + 1 14080 -0.22683741 0.42807926 -12.996826 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 15202 KachelY + 1 14080 -0.22664566 0.42807926 -12.985840 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42825370-0.42807926) × R
    0.000174439999999998 × 6371000     		dl = 1111.35723999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42825370-0.42807926) × R
    0.000174439999999998 × 6371000     		dr = 1111.35723999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22683741--0.22664566) × cos(0.42825370) × R
    0.000191749999999991 × 0.909692344813042 × 6371000     		do = 1111.31587384809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22683741--0.22664566) × cos(0.42807926) × R
    0.000191749999999991 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 1111.40435485506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42825370)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909692344813042-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.22664566--0.22683741)×7.24280977093539e-05×R²
    0.000191749999999991×7.24280977093539e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.24280977093539e-05×40589641000000     		ar = 1235118.11246374m²