Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15199 / 6613
↖ ↑ ↗
← N 72.538023°
W 13.018799°		 ← 366.56 m → N 72.538023°
W 13.007813°		 →
↑
366.65 m
↓
↑
366.65 m
↓
N 72.534725°
W 13.018799°		 ← 366.63 m →
134 412 m²		 N 72.534725°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463851928710938 y=0.201828002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463851928710938 × 215)
    floor (0.463851928710938 × 32768)
    floor (15199.5)     		tx = 15199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201828002929688 × 215)
    floor (0.201828002929688 × 32768)
    floor (6613.5)     		ty = 6613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15199 / 6613 ti = "15/15199/6613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15199/6613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15199 ÷ 215
    15199 ÷ 32768     		x = 0.463836669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6613 ÷ 215
    6613 ÷ 32768     		y = 0.201812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22722090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201812744140625 × 2 - 1) × π
    0.59637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87356578475027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22722090} λ = -0.22722090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87356578475027))-π/2
    2×atan(6.51147356547764)-π/2
    2×1.41841182648781-π/2
    2.83682365297562-1.57079632675     		φ = 1.26602733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22722090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.018799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26602733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.538023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15199 KachelY 6613 -0.22722090 1.26602733 -13.018799 72.538023
    Oben rechts KachelX + 1 15200 KachelY 6613 -0.22702916 1.26602733 -13.007813 72.538023
    Unten links KachelX 15199 KachelY + 1 6614 -0.22722090 1.26596978 -13.018799 72.534725
    Unten rechts KachelX + 1 15200 KachelY + 1 6614 -0.22702916 1.26596978 -13.007813 72.534725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26602733-1.26596978) × R
    5.75499999999618e-05 × 6371000     		dl = 366.651049999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26602733-1.26596978) × R
    5.75499999999618e-05 × 6371000     		dr = 366.651049999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22722090--0.22702916) × cos(1.26602733) × R
    0.000191739999999996 × 0.300072825495806 × 6371000     		do = 366.561623844356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22722090--0.22702916) × cos(1.26596978) × R
    0.000191739999999996 × 0.300127722881678 × 6371000     		du = 366.628685148148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26602733)-sin(1.26596978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300072825495806-0.300127722881678)×R²
    abs(-0.22702916--0.22722090)×5.48973858721657e-05×R²
    0.000191739999999996×5.48973858721657e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.48973858721657e-05×40589641000000     		ar = 134412.498358572m²