Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15198 / 8157
↖ ↑ ↗
← N 66.666036°
W 13.029785°		 ← 483.88 m → N 66.666036°
W 13.018799°		 →
↑
483.94 m
↓
↑
483.94 m
↓
N 66.661683°
W 13.029785°		 ← 483.96 m →
234 190 m²		 N 66.661683°
W 13.018799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463821411132812 y=0.248947143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463821411132812 × 215)
    floor (0.463821411132812 × 32768)
    floor (15198.5)     		tx = 15198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248947143554688 × 215)
    floor (0.248947143554688 × 32768)
    floor (8157.5)     		ty = 8157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15198 / 8157 ti = "15/15198/8157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15198/8157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15198 ÷ 215
    15198 ÷ 32768     		x = 0.46380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8157 ÷ 215
    8157 ÷ 32768     		y = 0.248931884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22741265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248931884765625 × 2 - 1) × π
    0.50213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57750749269681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22741265} λ = -0.22741265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57750749269681))-π/2
    2×atan(4.84286986683068)-π/2
    2×1.36716907335323-π/2
    2.73433814670647-1.57079632675     		φ = 1.16354182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22741265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16354182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.666036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15198 KachelY 8157 -0.22741265 1.16354182 -13.029785 66.666036
    Oben rechts KachelX + 1 15199 KachelY 8157 -0.22722090 1.16354182 -13.018799 66.666036
    Unten links KachelX 15198 KachelY + 1 8158 -0.22741265 1.16346586 -13.029785 66.661683
    Unten rechts KachelX + 1 15199 KachelY + 1 8158 -0.22722090 1.16346586 -13.018799 66.661683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16354182-1.16346586) × R
    7.5959999999986e-05 × 6371000     		dl = 483.941159999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16354182-1.16346586) × R
    7.5959999999986e-05 × 6371000     		dr = 483.941159999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22741265--0.22722090) × cos(1.16354182) × R
    0.000191749999999991 × 0.396089879856004 × 6371000     		do = 483.878943759855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22741265--0.22722090) × cos(1.16346586) × R
    0.000191749999999991 × 0.396159626077318 × 6371000     		du = 483.964148481351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16354182)-sin(1.16346586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396089879856004-0.396159626077318)×R²
    abs(-0.22722090--0.22741265)×6.97462213139488e-05×R²
    0.000191749999999991×6.97462213139488e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.97462213139488e-05×40589641000000     		ar = 234189.554491405m²