Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15197 / 8139
↖ ↑ ↗
← N 66.744240°
W 13.040772°		 ← 482.35 m → N 66.744240°
W 13.029785°		 →
↑
482.35 m
↓
↑
482.35 m
↓
N 66.739902°
W 13.040772°		 ← 482.43 m →
232 680 m²		 N 66.739902°
W 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463790893554688 y=0.248397827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463790893554688 × 215)
    floor (0.463790893554688 × 32768)
    floor (15197.5)     		tx = 15197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248397827148438 × 215)
    floor (0.248397827148438 × 32768)
    floor (8139.5)     		ty = 8139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15197 / 8139 ti = "15/15197/8139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15197/8139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15197 ÷ 215
    15197 ÷ 32768     		x = 0.463775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8139 ÷ 215
    8139 ÷ 32768     		y = 0.248382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248382568359375 × 2 - 1) × π
    0.50323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58095894946945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22760440} λ = -0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58095894946945))-π/2
    2×atan(4.8596137015206)-π/2
    2×1.36785153470159-π/2
    2.73570306940317-1.57079632675     		φ = 1.16490674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16490674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.744240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15197 KachelY 8139 -0.22760440 1.16490674 -13.040772 66.744240
    Oben rechts KachelX + 1 15198 KachelY 8139 -0.22741265 1.16490674 -13.029785 66.744240
    Unten links KachelX 15197 KachelY + 1 8140 -0.22760440 1.16483103 -13.040772 66.739902
    Unten rechts KachelX + 1 15198 KachelY + 1 8140 -0.22741265 1.16483103 -13.029785 66.739902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16490674-1.16483103) × R
    7.57099999999511e-05 × 6371000     		dl = 482.348409999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16490674-1.16483103) × R
    7.57099999999511e-05 × 6371000     		dr = 482.348409999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22760440--0.22741265) × cos(1.16490674) × R
    0.000191750000000018 × 0.394836225712366 × 6371000     		do = 482.347430652131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22760440--0.22741265) × cos(1.16483103) × R
    0.000191750000000018 × 0.394905783258251 × 6371000     		du = 482.432404880318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16490674)-sin(1.16483103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394836225712366-0.394905783258251)×R²
    abs(-0.22741265--0.22760440)×6.95575458850572e-05×R²
    0.000191750000000018×6.95575458850572e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.95575458850572e-05×40589641000000     		ar = 232680.009945853m²